Nullstellenberechnung: Ich versteh es nicht!

Question

Nullstellenberechnung:

Notwendige Bedingung: fa(x) = 0

x^2 - 2ax + 1 = 0                      | EDIT: a eingefügt gemäss Kommentar. 

Ausgerechnet: x1/2 = a +/- Wurzel aus a^2 - 1

Was ich nicht verstehe:

eine Nullstelle, wenn a = 1

Keine Nullstelle, wenn 0 < a <1

Zwei Nullstellen, wena a > 0

Comments

Ich sehe kein a in der Gleichung.

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Wie du siehst kein a in der Gleichung?

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x² - 2x + 1 = 0

enthält kein a.

Bitte vervollständige Fragestellung. 

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Ja, stimmt.

fa(x) = x^2 - 2ax + 1

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EDIT: a ist nun oben eingefügt.

Schau dir schon mal in Wikipedia den Beitrag zum Begriff "Diskriminante" an.

Answer 1

x² - 2ax + 1 = 0    

Es ist immer noch nicht klar, was die Aufgabenstellung ist.

Die Frage ist vielleicht: Für welche Werte von a, hat fa(x) = x² - 2ax + 1  wieviele Nullstellen?

D.h. für welche Werte von a, hat die Gleichung

x² - 2ax + 1 = 0      wie viele Lösungen.

Man berechnet die Diskriminante. D = B^2 - 4 AC

für A=1, B= -2a und C= 1

D = (-2a)^2 - 4 

= 4a^2 - 4          | 4 ausklammern

= 4(a^2 - 1)         | 3. Binom

= 4(a+1)(a-1) 

D = 0 : Genau eine Nullstelle für a=-1 und a=+1

D < 0: Keine Nullstelle für -1 < a < 1         . Grund in diesem Bereich ist der Faktor  (a+1) grösser als 0 und der Faktor (a-1) kleiner als 0.

D > 0: Zwei Nullstellen für a < -1 oder für a> 1 Grund. Beide Faktoren sind kleiner als 0 ODER beide Faktoren sind grösser als 0. 

Comments

Wie kommt man auf die 4? oO

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D = B² - 4 AC         Diese Formel musst du kennen.

und 4*1*1 =4.

Rest steht oben.

Hier der Link zum Stichwort Diskriminante https://de.wikipedia.org/wiki/Diskriminante#Diskriminante_einer_quadratischen_Gleichung

D = B^2 - 4 AC 

Answer 2

Die Gleichung kann auch mit der quadratischen Ergänzung gelöst werden
x² - 2ax + 1 = 0 
x^2 - 2ax + a^2 = -1 + a^2
( x -a )^2 = -1 + a^2
x - a = ± √  ( a^2 - 1 )
x = a ± √  ( a^2 - 1 )

Was ich nicht verstehe:
eine Nullstelle, wenn a = 1
Keine Nullstelle, wenn 0 < a <1
Zwei Nullstellen, wena a > 0

Damit eine Wurzel gezogen werden kann muß der Term in der
Wurzel positiv oder 0 sein

( a^2 - 1 ) = 0  => a = 1 oder a = -1
Gesamt
x = a ± √  ( a^2 - 1 )
x = a ± √  0
x = a
Für a = ± 1 gilt
x = a

( a^2 - 1 ) > 0 
a^2 > 1
a > 1
oder
a < -1
Gesamt
x = a ± √  ( a^2 - 1 )
weiter kann nicht vereinfacht werden

( a^2 - 1 ) < 0 ( Wurzelterm ist negativ )
a^2 < 1
-1 < a < 1
Keine Lösung da die Wurzel nicht gezogen werden kann