Verständnisfrage zur Koordinatengleichung einer Ebene

Question

wenn man die Koordinatengleichung aus einer  Parametergleichung gewinnen möchte und den Gauß-Algorithmus anwendet, erhält man ja in der dritten Zeile des LGS links zwei Nullen und in der rechten Spalte dann z. B. 10x1+3x2+8x3-49

Warum lautet die Koordinatengleichung dann gerade 10x1+3x2+8x3-49=0 ?

Answer 1

Ich nehme mal deine Parametergleichung von eben und nenne die Parameter r und s

X = [1, 2, 6] + r·[-5, 1, 3] + s·[2, -1, -2]

Der Vektor X = [x, y, z]

Damit lautet das Gleichungssystem aufgeschrieben

x = 1 - 5r + 2s

y = 2 + r - s

z = 6 + 3r - 2s

2*II + I ; III + I

x + 2y = 5 - 3r

x + z = 7 - 2r

3*II - 2*I

x - 4·y + 3·z = 11

x - 4·y + 3·z = 11

Etwas einfacherer Weg zur Koordinatengleichung

N = [-5, 1, 3] ⨯ [2, -1, -2] = [1, -4, 3]

X * [1, -4, 3] = [1, 2, 6] * [1, -4, 3]

1x - 4y + 3z = 11

Funktioniert problemlos über beide Verfahren. Nur letzteres ist etwas einfacher.

Comments

Wie nennt sich das zweite Verfahren?

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Das ist die Herleitung über die Normalenform der Ebene.

Dabei ist P ein Punkt der Ebene und N der Normalenvektor der Ebene. Wenn PX = X - P in der ebene liegt weil X in der Ebene liegt dann ist das Skalarprodukt 0.

(X - P) * N = 0

X * N - P * N = 0

X * N = P * N

Letzteres ausmultipliziert gibt dann gleich die Koordinatenform.