Bestimmen sie eine Koordinatengleichung der Ebene E3 die orthogonal zur Schnittgeraden g ist und durch den Punkt P …

Question

Aufgabe:

Gegeben: E₁: x₁+4x₂-x₃=-4; E₂: 2x₁+x₃=8

a) Ermitteln Sie die Parameterdarstellung der Schnittgeraden g der beiden Ebenen.

b) Bestimmen sie eine Koordinatengleichung der Ebene E₃ die orthogonal zur Schnittgeraden g ist und durch den Punkt P (5;4;5) verläuft.

Problem/Ansatz:

Bei a) habe ich als Gerade g:x=(0;1;8) + r*(-4;3;8) rausbekommen.

Bei b) fehlt mir nun jeglicher Ansatz. Ich hatte nur die Idee das Skalarprodukt zu nutzen, aber wie genau ist mir schleierhaft.

Answer 1

Deine Angabe zu E1 ist keine Ebene. Bitte bessere das mal nach.

E1: x + 4·y - z = -4

E2: 2·x + z = 8

a) Ermitteln Sie die Parameterdarstellung der Schnittgeraden g der beiden Ebenen.

Setze mal x = 0 in die Ebenen ein

2·(0) + z = 8 --> z = 8
(0) + 4·y - (8) = -4 --> y = 1

Jetzt hast du schon einen Punkt. Nimm jetzt noch den Vektor der zu beiden Normelenvektoren der Ebenen senkrecht steht. Damit kannst du die Schnittgerade aufstellen.

g: X = [0, 1, 8] + r·[4, -3, -8]

b) Bestimmen sie eine Koordinatengleichung der Ebene E3 die orthogonal zur Schnittgeraden g ist und durch den Punkt P (5;4;5) verläuft.

E3: X·[4, -3, -8] = [5, 4, 5]·[4, -3, -8]
E3: 4·x - 3·y - 8·z = -32

Comments

Ist verbessert

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Ich habe meine Antwort auch verbessert.

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Kannst du erläutern wie du auf E3: X·[4, -3, -8] = [5, 4, 5]·[4, -3, -8] kommst?

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b) Bestimmen sie eine Koordinatengleichung der Ebene E3 die orthogonal zur Schnittgeraden g ist und durch den Punkt P (5;4;5) verläuft.

Die Ebene soll senkrecht zur Schnittgeraden sein. Damit kennst du den Normalenvektor. Dann brauchst du damit und dem Punkt nur die Koordinatenform aufstellen.

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Warum wird das denn jetzt mit dem Skalarprodukt und nicht mit dem Kreuzprodukt berechnet? Also dieser Teil: [5, 4, 5]·[4, -3, -8]

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Kennst du die Normalenform einer Ebene

E: (X - A) * N = 0

Darin hast du A als einen Ortsvektor also einen Punkt und N als Normalenvektor. Das brauchst du nur ausmultiplizieren.-

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Ja die kenne ich. Ich sehe die Normalenform aber nicht in der Gleichung X·[4, -3, -8] = [5, 4, 5]·[4, -3, -8]. Habe wohl wieder ein Brett vorm Kopf

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Das sind nur 2 Schritte Umformungsarbeit

(X - A) * N = 0

ausmultiplizieren

X * N - A * N = 0

X * N = A * N

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Jetzt hab ich's. Vielen Dank! :)