Ableitung/Wendestellen (k bestimmen)

Question

Für welche k besitzt die zu f(x)=e^3x+e^4x-e^kx gehörende Kurve die Wendestelle x=0 ?

Wie berechnet man sowas?....

Answer 1

f_k''(0) = 0 und nach k auflösen:

$$ f_{k}''(x) = −k^2e^{kx}+16e^{4x}+9e^{3x} $$

$$ f_{k}''(0) = -k^2+25 $$

$$ -k^2+25 = 0 ⇒ k = -5 \vee k = 5 $$

Comments

Warum ist f''(0) = 0 ??

des verstehe ich irgendwie noch nicht...

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Notwendige Bedingung zur Berechnung der Wendestelle: f_k''(x) = 0

x hast du gegeben mit x = 0. Also musst du nach k auflösen.

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Eigentlich ist das ja vor allem eine Ableitungsübung.

Und die Übung geht weiter. Es fehlt die Überprüfung ob auch eine hinreichende Bedingung für die Wendestelle x=0 bei f₅  bzw. f_-5 erfüllt ist.  (vgl. meine Antwort.

Answer 2

f_k(x)  =   e^3x + e^4x - e^kx    

f_k'(x)  =  - k·e^kx + 4·e^4x + 3·e^3x

f_k''(x)  =  - k²·e^kx + 16·e^4x + 9·e^3x

f_k'''(x) =   - k³·e^kx + 64·e^4x - 27·e^3x 

notwendige Bedingung für Wendestelle x=0:

f_k''(0) = 0    →   - k² + 25 = 0   →   k = ± 5

hinreichende Bedingung für Wendestelle x = 0 bei f₅ bzw.  f_-5

f₅'''(0) = -34 ≠ 0    bzw.  f_-5'''(0) = 216 ≠ 0

Gruß Wolfgang