Richtungsableitung in Richtung des gradienten

Question

Ich verstehe diese Aufgabe leider nicht komplett. Die Aufgabe lautet: Für das skalare Feld U(x,y,z)= sinx*siny+z^2 bestimme man im Punkt P(-5;10;-1) die Richtungsableitung a) in Richtung gradU ,b) in Richtung senkrecht zu grad U sowie c) Rotation grad U

Leider verstehe ich nicht was ich da genau rechnen muss trotz Lösung(Endergebnis).

Wäre sehr dankbar für eure Hilfe!

Answer 1

Wenn der Gradient \(\nabla f\) berechnet werden kann (das ist der Normalfall), dann ergibt sich die Richtungsableitung in Richtung \(e\) mit der Formel $$\frac{\partial f}{\partial e}=\nabla f\cdot e.$$ Meistens wird noch verlangt, dass \(|e|=1\) ist. Das ist alles. Gradient ausrechnen und dann das Skalarprodukt mit der (eventuell vorher zu normierenden) Richtung berechnen. Fertig.

Answer 2

die Definitionen für  grad und rot findest du hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Vektoranalysis

und Hinweise zur Richtungsableitung hier:

http://wwwmath.uni-muenster.de/reine/u/springer/MfPh2/Muster10.pdf

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grad(U) = [ COS(x)·SIN(y) , SIN(x)·COS(y) , 2·z ]

a)

grad(U) • grad(U) = COS(x)² · SIN(y)² + SIN(x)² · COS(y)² + 4·z²

Je nach eurer Definition musst du noch durch | grad(U) |  dividieren.

Die Zahlen für  P(-5;10;-1) kannst du selbst einsetzen.

b)

Ein Vektor senkrecht zu grad(U)  ist zum Beispiel  [ 0 , - 2·z , SIN(x)·COS(y)  ]

Das Skalarprodukt von grad(U) mit einem solchen Vektor ist natürlich 0

c)

rot(grad(U)) = \(\vec{0}\)

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen Dank für die hilfreichen Antworten. Ich habe es nun verstanden.