+1 Daumen
398 Aufrufe

1) \(  \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { \sqrt [ n ]{ n }  }{ { 9 }^{ n } }  } { z }^{ n }\)

2) \(  \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ { (-2) }^{ n } } { { (\frac { z }{ 3 }  }) }^{ 2n }\) 

3) \(\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { { 3 }^{ n } }{ { (n+1) }^{ 3 } }  } { { z } }^{ 2n }\)

4) \( \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \log { (n) }  } { { z } }^{ n }\)

Meine Lösungen:

1) $$ \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { \sqrt [ n ]{ n }  }{ { 9 }^{ n } }  } { z }^{ n }=>\frac { 1 }{ \sqrt [ n ]{ \frac { \sqrt [ n ]{ n }  }{ { 9 }^{ n } }  }  } =\lim _{ n\longrightarrow \infty  }{ \frac { 1 }{ \frac { { n }^{ \frac { 1 }{ { n }^{ 2 } }  } }{ { 9 }^{ \frac { n }{ n }  } }  }  } =\frac { 1 }{ \frac { 1 }{ 9 }  } =9=r $$

2) $$\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ { (-2) }^{ n } } { { (\frac { z }{ 3 }  }) }^{ 2n }=\frac { 1 }{ \sqrt [ 2n ]{ { (-2 })^{ n } }  } =\lim _{ n\longrightarrow \infty  }{ \frac { 1 }{ { -2 }^{ \frac { n }{ 2n }  } }  } =>Wegen\quad { { (\frac { z }{ 3 }  }) }=\frac { 3 }{ \sqrt { -2 }  } =r$$

3) $$ \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { { 3 }^{ n } }{ { (n+1) }^{ 3 } }  } { { z } }^{ 2n }=>\frac { { 3 }^{ n } }{ { n }^{ 3 }+3{ n }^{ 2 }+3n+1 } =>\frac { 1 }{ \sqrt [ 2n ]{ \frac { { 3 }^{ n } }{ { n }^{ 3 }+3{ n }^{ 2 }+3n+1 }  }  } =\lim _{ n\longrightarrow \infty  }{ \frac { 1 }{ \frac { \sqrt [ 2n ]{ { 3 }^{ n } }  }{ \sqrt [ 2n ]{ ({ n }^{ 3 }+3{ n }^{ 2 }+3n+1) }  }  }  } =\lim _{ n\longrightarrow \infty  }{ \frac { 1 }{ \frac { \sqrt { 3 }  }{ \sqrt [ 2n ]{ { n }^{ 3 }(1+\frac { 3 }{ n } +\frac { 3 }{ { n }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { n }^{ 3 } } ) }  }  }  } =\lim _{ n\longrightarrow \infty  } \frac { 1 }{ \frac { \sqrt { 3 }  }{ \sqrt [ 2n ]{ { n }^{ 3 } }  }  } \rightarrow \frac { 1 }{ \frac { \sqrt { 3 }  }{ 1 }  } =>r=\frac { 1 }{ \sqrt { 3 }  } $$

4) $$ \sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \log { (n) }  } { { z } }^{ n }=>\frac { 1 }{ \sqrt [ n ]{ \log { (n) }  }  } =>\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { 1 }{ { \log { (n) }  }^{ \frac { 1 }{ n }  } }  } =\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { 1 }{ 1 }  } =>r=1$$

Avatar von

Könnte vielleicht jemand sagen ob man in der 2) die Wurzel von der -2 ziehen kann? Oder habe ich etwas falsch berechnet? Weil es √-2 ja nicht gibt eigentlich.

Das Minuszeichen hat da nichts zu suchen, du hast vergessen mit dem Betrag zu arbeiten.

Ach so, vielen Dank. Also ist das Ergebnis 3/√2?

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community