1) \( \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { \sqrt [ n ]{ n } }{ { 9 }^{ n } } } { z }^{ n }\)
2) \( \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { (-2) }^{ n } } { { (\frac { z }{ 3 } }) }^{ 2n }\)
3) \(\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { 3 }^{ n } }{ { (n+1) }^{ 3 } } } { { z } }^{ 2n }\)
4) \( \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \log { (n) } } { { z } }^{ n }\)
Meine Lösungen:
1) $$ \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { \sqrt [ n ]{ n } }{ { 9 }^{ n } } } { z }^{ n }=>\frac { 1 }{ \sqrt [ n ]{ \frac { \sqrt [ n ]{ n } }{ { 9 }^{ n } } } } =\lim _{ n\longrightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ \frac { { n }^{ \frac { 1 }{ { n }^{ 2 } } } }{ { 9 }^{ \frac { n }{ n } } } } } =\frac { 1 }{ \frac { 1 }{ 9 } } =9=r $$
2) $$\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { (-2) }^{ n } } { { (\frac { z }{ 3 } }) }^{ 2n }=\frac { 1 }{ \sqrt [ 2n ]{ { (-2 })^{ n } } } =\lim _{ n\longrightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ { -2 }^{ \frac { n }{ 2n } } } } =>Wegen\quad { { (\frac { z }{ 3 } }) }=\frac { 3 }{ \sqrt { -2 } } =r$$
3) $$ \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \frac { { 3 }^{ n } }{ { (n+1) }^{ 3 } } } { { z } }^{ 2n }=>\frac { { 3 }^{ n } }{ { n }^{ 3 }+3{ n }^{ 2 }+3n+1 } =>\frac { 1 }{ \sqrt [ 2n ]{ \frac { { 3 }^{ n } }{ { n }^{ 3 }+3{ n }^{ 2 }+3n+1 } } } =\lim _{ n\longrightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ \frac { \sqrt [ 2n ]{ { 3 }^{ n } } }{ \sqrt [ 2n ]{ ({ n }^{ 3 }+3{ n }^{ 2 }+3n+1) } } } } =\lim _{ n\longrightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ \frac { \sqrt { 3 } }{ \sqrt [ 2n ]{ { n }^{ 3 }(1+\frac { 3 }{ n } +\frac { 3 }{ { n }^{ 2 } } +\frac { 1 }{ { n }^{ 3 } } ) } } } } =\lim _{ n\longrightarrow \infty } \frac { 1 }{ \frac { \sqrt { 3 } }{ \sqrt [ 2n ]{ { n }^{ 3 } } } } \rightarrow \frac { 1 }{ \frac { \sqrt { 3 } }{ 1 } } =>r=\frac { 1 }{ \sqrt { 3 } } $$
4) $$ \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ \log { (n) } } { { z } }^{ n }=>\frac { 1 }{ \sqrt [ n ]{ \log { (n) } } } =>\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ { \log { (n) } }^{ \frac { 1 }{ n } } } } =\lim _{ n\rightarrow \infty }{ \frac { 1 }{ 1 } } =>r=1$$
