Zeige folgende Aussagen über Topologie

Question

Sei X eine unendliche Menge. Auf X führen wir nun die folgende Topologie ein: Offene Mengen ausser die leere Menge und X sind alle Teilmengen \( U\subset X\) , so dass X\U eine endliche Menge ist.

a.) Zeige, dass alle Axiome einer Topologie erfüllt sind

b.) zeige dass das Hausdorffsche Trennungsaxiom nicht erfült ist

c.) Ist \(A\subset X\) eine unendliche Menge, so gilt für den Abschluss A=X

d.) ist \(A\subset X\) eine endliche Menge, so gilt für das Innere A°= leere Menge

Answer 1

Die drei Axiome für eine Topologie  T auf der Menge X  sind doch

X ∈ T und ∅∈ T ist offenb. erfüllt.

Vereinigung offener Mengen ist offen:

Ist Y eine Menge offener Mengen, und X∈Y, dann ist die

Vereinigung aller Elemente von Y gleich X, also offen.

Die leere Menge spielt bei der Ver. keine Rolle, also

bleibt nur zu betrachten:

Ist Y eine Menge offener Mengen, und X∉Y, dann ist

zu zeigen, dass das Komplement der Vereinigung

aller Elemente von Y wieder endlich ist.

Das ist aber der Durchschnitt der Komplemente

der Elemente von Y, diese Komplemente sind alle endlich,

also ist auch der Durchschnitt endlich.

Beim 3. Axiom geht es um endlichen Durchschnitt von offenen

Mengen. Ist also wieder Y eine endliche Menge offener Mengen,

dann ist das Komplement des Durchschnitts der El. von X

die  Vereinigung der Komplemente der Elemente von X und

eine endliche Vereinigung der endlichen Mengen ist endlich.

q.e.d

Comments

Das habe ich verstanden danke! Wie mache ich das mit Haudorff?