Exponentialfunkt/Log

Question

Ich habe diese Aufgabe:

Das Wachstum einer Tierpopulation lässt sich mit der Formel

N(t) = G – (G – N0)•e^-λt

beschreiben.

Dabei ist N0 der Anfangswert und G der Maximalwert.
Eine Tierpopulation von anfangs 200 strebt gegen einen Maximalwert von 1200. Nach fünf Jahren
beträgt sie 300. Wieviele Jahre braucht sie, um 90% des Maximalwerts zu erreichen?

Ich konnte leider aufgrund einer langen Krankheit nur die anfänglichen Theoriestunden besuchen, und meine Klausur ist am Freitag.

Kann mir jemand erklären, wie ich bei dieser Aufgabe vorgehe?

Answer 1

Das Wachstum einer Tierpopulation lässt sich mit der Formel

N(t) = G – (G – N0)•e^-λt 

beschreiben. Dabei ist N0 der Anfangswert und G der Maximalwert. Eine Tierpopulation von anfangs 200 strebt gegen einen Maximalwert von 1200. Nach fünf Jahren beträgt sie 300. Wieviele Jahre braucht sie, um 90% des Maximalwerts zu erreichen?

Du hast N0 und G bereits gegeben. Das heißt du kannst die bereits einsetzen!

N(t) = 1200 – (1200 – 200)•e^-λt 

Nun haben wir noch die Bedingung

N(5) = 300 --> λ = 0.02107

Damit lautet die Funktion

N(t) = 1200 - (1200 - 200)·EXP(- 0.02107·t)

Wieviele Jahre braucht sie, um 90% des Maximalwerts zu erreichen?

N(t) = 1200 - (1200 - 200)·EXP(- 0.02107·t) = 0.9 * 1200 --> t = 100.6 Jahre

Answer 2

Das ist das logistische Wachstum

N(t) = G – (G – N0)•e^-λt

Dabei ist N0 der Anfangswert und G der Maximalwert.
Eine Tierpopulation von anfangs 200 strebt gegen einen Maximalwert von 1200.
Nach fünf Jahren  beträgt sie 300. Wieviele Jahre braucht sie, um 90% des
Maximalwerts zu erreichen?

N0 = 200
G = 1200

N ( 5 ) = 300
N ( 5 ) =  1200 - ( 1200 - 200 ) * e^{-lambda*5} = 300

lambda = 0.0211

N ( t ) =  1200 - ( 1200 - 200 ) * e^{-0.0211*t}

90 % des Maximalwerts = 0.9 * 1200

1200 - ( 1200 - 200 ) * e^{-0.0211*t} = 0.9 * 1200

t = 100.48 Jahre