Hallo Gast,
das gilt ja für \( n \to \infty \). Ob ich jetzt aber unter dem Bruchstrich 1000 oder 1002 bzw. irgendwann 1000000 oder 1000002 usw. stehen habe, macht immer weniger Unterschied im Ergebnis aus. Es ist also eigentlich nicht exakt gleich, aber der Grenzwert ist gleich. Es muss ja eigentlich auch so lauten
\[ \lim_{n \to \infty} ( 1 + \frac{1}{n})^n = e = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n+2})^n \]
oder?
Natürlich gilt
\[ ( 1 + \frac{1}{n})^n \neq ( 1 + \frac{1}{n+2})^n \]
Ebenso sind die Grenzwerte für \( x \to \infty \) von \( x^3 \) und \(x^2 \) gleich, aber deswegen gilt ja trotzdem \( x^3 \neq x^2 \).
Gruß