Frage zur e-Grenzwert Regel

Question

Laut der Regel gilt ja

$${ (1+\frac { 1 }{ n } ) }^{ n }=e$$

ich habe jetzt aber auch diesen Fall in einer Lösung entdeckt:

$${ (1+\frac { 1 }{ n+2 } ) }^{ n }=e$$

Warum gilt auch der zweite Fall, wo nicht gegeben ist, dass das 'unter dem Bruchstrich stehende' gleich dem Exponenten ist?

Answer 1

Hallo Gast,

das gilt ja für \( n \to \infty \). Ob ich jetzt aber unter dem Bruchstrich 1000 oder 1002 bzw. irgendwann 1000000 oder 1000002 usw. stehen habe, macht immer weniger Unterschied im Ergebnis aus. Es ist also eigentlich nicht exakt gleich, aber der Grenzwert ist gleich. Es muss ja eigentlich auch so lauten

\[ \lim_{n \to \infty} ( 1 + \frac{1}{n})^n = e = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n+2})^n \]

oder?

Natürlich gilt

\[ ( 1 + \frac{1}{n})^n \neq ( 1 + \frac{1}{n+2})^n \]

Ebenso sind die Grenzwerte für \( x \to \infty \) von \( x^3 \) und \(x^2 \) gleich, aber deswegen gilt ja trotzdem \( x^3 \neq x^2 \).

Gruß

Comments

Das macht Sinn.

Dann würde vermutlich auch

$$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ (1+\frac { 1 }{ n }  } )^{ n+2 }$$

und

$$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ (1+\frac { 1 }{ 2*n }  } )^{ n }$$

gelten?

Aber

$$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ (1+\frac { 1 }{ n^{ 2 } }  } )^{ n }$$

nicht, da anderer Exponent?

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das kann man so pauschal nicht sagen, denn der Unterschied von Addition zu Mutiplikation bzw. Potenzierung ist groß.

\( n \) zu \(100+n \) ist anders im Unterschied als \(n \) zu \( 100 \cdot n \) vor allem wenn \( n \) gegen \( \infty \) geht. Bei der Addition ist die Wirkung der 100 irgendwann egal, bei der Multiplikation skaliert sie mit.

Gruß

Answer 2

An die Stelle der 2 kann man sogar jede natürliche Zahl setzen und der Grenzwert bleibt e. Entscheidend ist, dass eine Zahl > 1 mit n potenziert für n gegen ∞ gegen e geht.

Comments

Hallo Gast jb4144, \( \)

Deine Aussage \[ \forall x>1 \in \mathbb{R}, \ n \in \mathbb{N} \ \ \lim_{n \to \infty} x^n = e \] kann so nicht stimmen.

Du meintest das -glaube ich- etwas anders, aber Du hast es so geschrieben.

Gruß