Anfangstbestand Exponent.

Question

Ich habe diese Aufgabe:

¨Die Bevölkerung eines Jahres wächst jährlich um 1,5%. Um welchen Faktor wächst die
Bevölkerung in 30 Jahren? Bestimmen Sie die Verdoppelungszeit und die Wachstumskonstante.

Ich müsste doch theoretisch den Anfangsbestand wissen, um die Gleichung überhaupt aufstellen zu können?

Oder spielt das keine Rolle weil es nur um den Faktor geht?

Und wie stelle ich die Gleichung auf bzw. wie bestimme ich dei Wachstumskonstante?

Answer 1

> Oder spielt das keine Rolle weil es nur um den Faktor geht?

So ist es:

B(t) = B₀ • 1,015^t

B(30) = B₀ • 1,015³⁰ = B₀ • 1,563  (gesuchter Faktor)

Verdoppelungszeit:

2B₀ = B₀ • 1,015^t  →  1,015^t = 2  →  t = ln(2) / ln(1,015) ≈ 46,6 [Jahre]

Wachstumskonstante λ = a:

e^a = 1,015  →  a = ln(1,015) 

Gruß Wolfgang

Answer 2

Wenn der Anfangsbestand B ist, dann ist der Berstand nach Verdopplung 2B, also
B·1,015^t=2B und dann (nach Division durch B) 1,015^t = 2. Logarithmiern auf beiden Seiten und ein Logarithmengesetz führen zu t·ln1,015=ln2 und dann t = ln2/ln1,015. Verdopplungszeit t≈46,5 Jahre.