Nullstellen und Extremstellen f(x) = x^5+x^3?

Question

wie oben angegeben ist die Aufgabe f(x) = x^5 + x^3 und es sollen Nullstellen / Extremstellen errechnet werden.

Zunächst also die Ableitungen:

f'(x) = 5x^4 + 3x^2

f''(x) = 20x^3 + 6x

f'''(x) = 60x^2 + 6

Nullstellen, Ansatz f(x) = 0

x^5 + x^3 = 0

x (x^4 + x^2) = 0

x = 0        v         x^4 + x^2 = 0

Substitution: x^2 = z

z^2 + z = 0

PQ-Formel ergibt z1 = 0, z2 = -1

Rücksubstitution: z = x^2

x1 = 0, x2 = error (negativ unter Wurzel geht ja nicht - einfach ignorieren?)


Also x = 0, x1 = 0

y-Wert über f(0) = 0
(Ist ja sowieso immer 0 bei Nullstellen, also kann man das wohl weglassen)

Nullstelle liegt also bei P(0/0)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Extremwerte: Ansatz f'(x) = 0

5x^4 + 3x^2 = 0

Substitution x^2 = z

5z^2 + 3z = 0   | :5

z^2 + 0,6z = 0

PQ-Formel ergibt: z1 = 0, z2 = -0,6

Rücksubstitution: z = x^2

x1 = 0, x2 = error (da negativ unter der Wurzel erneut)

Ergebnis in zweite Ableitung

f''(0) = 0       also weder Hoch- noch Tiefpunkt, sondern ein Sattelpunkt

y-Koordinate

f(0) = 0

Also liegt auch ein Sattelpunkt bei P(0/0)


Nullstelle und Sattelpunkt in P(0/0) und sonst keine weiteren Punkte, sehe ich das richtig? Kommt mir falsch gelöst vor, aber ich sehe keinen Fehler!

Comments

Zweckmäßig ist es, immer die höchste Potenz von x auszuklammern.  Das hat Mathecoach vorgeführt.

Answer 1

Nullstellen

f(x) = x^5 + x^3 = x^3·(x^2 + 1) = 0 --> x = 0 (dreifach)

x^2 + 1 kann nicht null werden

Extrempunkte

f'(x) = 5·x^4 + 3·x^2 = x^2·(5·x^2 + 3) = 0 --> x = 0 (zweifach)

5·x^2 + 3 kann nicht null werden

Eine zweifache Nullstelle ist eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel. Damit ist es ein Sattelpunkt.

Skizze

~plot~x^5 + x^3~plot~

Comments

Nur damit man es sich nicht falsch merkt:

> Eine zweifache Nullstelle von f ' (also eine dreifache Nullstelle!) ist eine Nullstelle von f ' ohne Vorzeichenwechsel. Damit ist es ein Sattelpunkt.

(War im Zusammenhang der Antwort natürlich richtig!)

Answer 2

Hier einmal kürzere Nachweise anhand deines Rechenwegs

wie oben angegeben ist die Aufgabe f(x) = x⁵ + x³ und es sollen
Nullstellen / Extremstellen errechnet werden.

Zunächst also die Ableitungen:

f'(x) = 5x⁴ + 3x²

f''(x) = 20x³ + 6x

f'''(x) = 60x² + 6

Nullstellen, Ansatz f(x) = 0

x⁵ + x³ = 0

x (x⁴ + x²) = 0

x = 0        v        

x⁴ + x² = 0
Bei jedem x außer der 0  kommen positive Werte heraus.
Daher auch hier : x = 0

Kann alles entfallen
Substitution: x² = z
z² + z = 0
PQ-Formel ergibt z1 = 0, z2 = -1
Rücksubstitution: z = x²
x1 = 0, x2 = error (negativ unter Wurzel geht ja nicht - einfach ignorieren?)
Also x = 0, x1 = 0
y-Wert über f(0) = 0
(Ist ja sowieso immer 0 bei Nullstellen, also kann man das wohl weglassen)

Nullstelle liegt also bei P(0/0)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Extremwerte: Ansatz f'(x) = 0

5x⁴ + 3x² = 0
x^2 * ( 5*x^2 + 3 ) = 0

x^2 = 0  => x = 0   v

5*x^2 + 3 = 0
5*x^2 = -3
Eine Quadratzahl ist immer positiv oder 0
Es gibt keine Lösung für die Gleichung.

Kann alles entfallen
Substitution x² = z
5z² + 3z = 0   | :5
z² + 0,6z = 0
PQ-Formel ergibt: z1 = 0, z2 = -0,6
Rücksubstitution: z = x²
x1 = 0, x2 = error (da negativ unter der Wurzel erneut)

Ergebnis in zweite Ableitung

f''(0) = 0       also weder Hoch- noch Tiefpunkt, sondern ein Sattelpunkt

y-Koordinate

f(0) = 0

Also liegt auch ein Sattelpunkt bei P(0/0)


Nullstelle und Sattelpunkt in P(0/0) und sonst keine weiteren Punkte,
sehe ich das richtig? Kommt mir falsch gelöst vor, aber ich sehe keinen Fehler!

Hab Vertrauen in deine eigenen Berechnungen.
Ein gesundes Maß an Selbstüberschätzung hat noch niemand geschadet.

Falls dir ein Plotter zur Verfügung steht kann dies ungemein hilfreich sein.
( siehe Antwort mathecoach )