Wie erkenne ich ob eine Funktion reele/komplexe Nullstellen hat?

Question

Gibt es eine Methode/Regel, nach der man erkennt ob eine Funktion reelle oder/und komplexe Nullstellen hat? Also ohne groß anzufangen zu rechnen.

Dazu weiter gedacht drei Beispielfragen:

1. Hat die Funktion nur komplexe/reelle Nullstellen?

2. Hat die Funktion genau eine reelle/komplexe Nullstelle?

3. Wieviele reelle Nullstellen hat die Funktion mindestens?

Mir ist klar, dass komplexe Nullstellen immer zu weit auftreten, und so bei Funktionen mit ungeradem Grad immer mindestens eine reelle Nullstellen existieren müsste, aber kann man eventuell erkennen das sie mehr hat?

Answer 1

Sofern es sich um eine quadratische Gleichung handelt

Die Antwort steht in diesem Link.

https://de.wikipedia.org/wiki/Diskriminante

Answer 2

Wenn es sich um eine Polynomfunktion handelt ist die Summe aus den Anzahlen der komplexen und der reellen Nullstellen gleich dem Grad des Polynoms. Ein Polynom lässt sich in Linearfaktoren zerlegen. Dabei kann es sein, dass Faktoren auftreten, die im Reellen unzerlegbar sind.  Beispiel x⁴ - 1 = (x² - 1)(x² + 1).  (x² -1) ist in die Linearfaktoren (x+1) und (x-1) zerlegbar und x² + 1 ist im Reellen unzerlegbar. Im Komplexen gilt x²+1=(x+i)(x-i). x⁴ - 1 hat also zwei komplexe und zwei reelle Nullstellen.

Comments

Die Ausssage "Wenn es sich um eine Polynomfunktion handelt, ist die Summe aus den Anzahlen der komplexen und der reellen Nullstellen gleich dem Grad des Polynoms." ist falsch und dein Beispiel hat vier komplexe Nullstellen, wovon zwei reell sind.

Answer 3

  Ganzheißer Tipp ; beschäftige dich mal mit der ===> cartesischen Vorzeichenregel .
  Gruß an deinen Lehrer; der soll die euch " lernen " ( Die kriegen noch nicht mal Studenten gezeigt. )

  Kennst du übrigens den ===> Fundamentalsatz der Algebra? Unser Prof " Lothar " in der ===> Funktionenteorie ( komplexe Funktionen ! ) konnte übrigens ganz ganz toll erklären.

  " Die komplexen Zahlen sind ===> algebraisch abgeschlossen; jedes Polynom besitzt eine Nullstelle.
   Jedes Polynom n-ten Grades besitzt n Nullstellen.
   Dagegen kann eine ===> transzendente Funktion unendlich viele Nullstellen haben; Beispiel: Sinus.
   Kein Polynom ist periodisch.
   Sie braucht allerdings gar keine haben; Gegenbeispiel: die e-Funktion.