Ganzrationale Funktion vierten Gerades bestimmen. Relatives Minimum im Ursprung...

Question

Eine ganzrationale Funktion vierten Gerades verläuft durch den Punkt P(-2;-4) und besitzt im Ursprung des Koordinatessystems ein relatives Minimum. Die Steigung ihrer Tangente an der Nullstelle x=-1 beträgt 3 .

Answer 1

Eine ganzrationale Funktion vierten Gerades verläuft durch den Punkt P(-2;-4) und besitzt im Ursprung des Koordinatessystems ein relatives Minimum. Die Steigung ihrer Tangente an der Nullstelle x=-1 beträgt 3 . 

f(-2) = -4

f(0) = 0

f'(0) = 0

f(-1) = 0

f'(-1) = 3

Du solltest auf folgende Lösung kommen: 

f(x) = 2·x⁴ + 7·x³ + 5·x²

Benutze die Seite http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm um deine Gleichungen zu kontrollieren

Answer 2

Wegen dem relativen Minimum im Ursprung kannst du den Ansatz

y = x² * (ax² + bx + c) also

y = ax⁴ + bx³ + cx² wählen.

Da hast du nur 3 Unbekannte und brauchst dir aus dem Text nur noch 3 Gleichungen zu basteln. Versuche das mal selbst.

Answer 3

Eine ganzrationale Funktion vierten Gerades verläuft durch den Punkt P(-2;-4) und besitzt im Ursprung des Koordinatensystems ein relatives Minimum. Die Steigung ihrer Tangente an der Nullstelle x=-1 beträgt 3 .

...im Ursprung des Koordinatensystems ein relatives Minimum: doppelte Nullstelle

...an der Nullstelle x=-1 ist einfaches Minimum

$f(x)=ax^2(x+1)(x-N)=a[(x^3+x^2)(x-N)]$

P$(-2|-4)$

$f(-2)=a[(-8+4)(-2-N)]=a[8+4N]=-4$

$a=\frac{-4}{8+4N}=-\frac{1}{2+N}$

$f(x)=-\frac{1}{2+N}[(x^3+x^2)(x-N)]$

Die Steigung ihrer Tangente an der Nullstelle x=-1 beträgt 3 .

1. Ableitung

$f'(x)=-\frac{1}{2+N}[(3x^2+2x)(x-N)+(x^3+x^2)\cdot1 ]$

$f'(-1)=-\frac{1}{2+N}[-1-N ]=3$

$\frac{1}{2+N}[1+N ]=3$

$N=-2,5$       $a=-\frac{1}{2-2,5}=2$

$f(x)=2(x^3+x^2)(x+2,5)$