Mittelwert näherungsweise bestimmen?

Question

Ich habe hier eine Funktion gegeben, und soll den Mittelwert näherungsweise bestimmen. Die Lösungen sind zwar im Buch, aber nicht die Idee dahinter. Kann mir jemand bitte helfen und mir sagen, was ich denn nun tun müsste?

Answer 1

Sagen wir, du möchtest den Mittelwert der folgenden Funktion zwischen x=-2 und x=2 bestimmen.

~plot~4-x^2;x=-2; x=2~plot~

Nun betrachtest du die Fläche unter dem Bogen und überlegst dir wie hoch ein Rechteck, das in der Breite passt, sein müsste, damit es die gleiche Fläche hat wie der Bereich unter dem Bogen. 

Die lila Linie zeigt dir nun, dass die Fläche unter dem Bogen grösser als (2*4/2)*2 = 8 ist. Vielleicht ist sie 10? (Das wäre nun mal eine Schätzung). Dann ist die Höhe des Rechtecks und somit der Mittelwert 10/4 = 2.5. 

~plot~4-x^2;x=-2; x=2; 2x+4; 2.5~plot~

Mit einer Integration kannst du die Flächenschätzung unterhalb vom Bogen verbessern. 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=4-x%5E2

Die Fläche ist also 32/3.

Das ergibt für die Höhe des Rechtecks: h = (32/3)/4 = 8/3 = 2.6666......

Answer 2

Kannst du mal bitte die Aufgabenstellung hier rein schreiben? Dann können wir auch helfen.

Comments

"Ein Auto fährt für 0<=t <=10 mit der Geschwindigkeit g(t)=(1/36)*t(20-t). Bestimmen Sie ohne Rechnung näherungsweise die mittlere Geschwindigkeit."

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Markiere die Fläche Im Intervall von 0 bis 10 unter dem Graphen. nun suchst du eine horizontale Gerade, die im Intervall von 0 bis 10 die gleiche Fläche unter dem Graphen hat. Das ist etwas in der Nähe von 1.8.

~plot~1/36*x*(20 - x);1.852;[[0|10|0|3]]~plot~