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Ich habe hier folgende Aufgabe und hoffe ihr könnt mir beim Aufstellen der Verteilungsfunktion helfen.

$$Sei\quad p\quad ein\quad zufälliger\quad Punkt\quad aus\quad dem\quad Quadrat\quad [0,2]\times [0,2]\quad (gleichverteilt)\quad und\\ X(p)\quad die\quad Zufallsvariable,\quad die\quad den\quad Abstand\quad von\quad p\quad zum\quad Rand\quad des\quad Quadrates\quad beschreibt.\\ \\a)\quad Bestimmen\quad Sie\quad die\quad Verteilungsfunktion\quad { F }_{ X }\quad und\quad die\quad Dichtefunktion\quad { f }_{ X }\quad von\quad X\\ b)\quad Bestimmen\quad Sie\quad den\quad Erwartungswert\quad E(X)\quad und\quad die\quad Varianz\quad Var(X)$$


Wenn ich mir nun die Allgemeine Formel für die Verteilungsfunktion anschaue, würde ich vermuten das x aus dem Bereich [0,1] stammt. Also im Bereich von Mitte zum Rand liegen muss.

$${ F }_{ X }\quad (x)\quad =\quad Pr({ x\quad \in \quad \Omega \quad |\quad X(a)\quad \le \quad x) }$$

Leider sehe ich gerade nicht, wie weiter machen muss.

Wenn ich erstmal die Verteilungsfunktion habe, ist der Rest ja relativ einfach. Dichtungsfunktion ist Ableitung der Verteilungsfunktion, die Widerrum lässt mich Erwartungswert berechnen und damit komme ich dann auf die Varianz.


Hoffe jemand kann mir weiterhelfen.

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mal dir doch mal bspw. für welche Punkte \(p\) der Abstand zum Rand \(X(p) = 0.7\)  beträgt. Dann sollte auf einen Blick auch klar sein, welche Punkte einen geringeren bzw. einen größeren Abstand haben.

Aufgrund der Gleichverteilung wirst du dann zur Bestimmung einer Wahrscheinlichkeit Flächen durcheinander teilen müssen.

Gruß

Avatar von 23 k
Ok, also 4- (2-2x)^2 = 4x^2-8x?

oder muss ich doch vielleicht wegen den vier Seiten des Quadraes durch 4 teilen?
Nein, das hat damit nichts zu tun.
Der Term den du oben aufgeschrieben hast gehört zu einer Fläche. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt aus dem Quadrat in dieser Fläche liegt erhältst du, indem du natürlich durch die Fläche des Quadrates teilst. Und das wäre die sinnvolle Begründung durch 4 zu teilen ;).

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