Ich habe hier folgende Aufgabe und hoffe ihr könnt mir beim Aufstellen der Verteilungsfunktion helfen.
$$Sei\quad p\quad ein\quad zufälliger\quad Punkt\quad aus\quad dem\quad Quadrat\quad [0,2]\times [0,2]\quad (gleichverteilt)\quad und\\ X(p)\quad die\quad Zufallsvariable,\quad die\quad den\quad Abstand\quad von\quad p\quad zum\quad Rand\quad des\quad Quadrates\quad beschreibt.\\ \\a)\quad Bestimmen\quad Sie\quad die\quad Verteilungsfunktion\quad { F }_{ X }\quad und\quad die\quad Dichtefunktion\quad { f }_{ X }\quad von\quad X\\ b)\quad Bestimmen\quad Sie\quad den\quad Erwartungswert\quad E(X)\quad und\quad die\quad Varianz\quad Var(X)$$
Wenn ich mir nun die Allgemeine Formel für die Verteilungsfunktion anschaue, würde ich vermuten das x aus dem Bereich [0,1] stammt. Also im Bereich von Mitte zum Rand liegen muss.
$${ F }_{ X }\quad (x)\quad =\quad Pr({ x\quad \in \quad \Omega \quad |\quad X(a)\quad \le \quad x) }$$
Leider sehe ich gerade nicht, wie weiter machen muss.
Wenn ich erstmal die Verteilungsfunktion habe, ist der Rest ja relativ einfach. Dichtungsfunktion ist Ableitung der Verteilungsfunktion, die Widerrum lässt mich Erwartungswert berechnen und damit komme ich dann auf die Varianz.
Hoffe jemand kann mir weiterhelfen.
