Lage von zwei Ebenen berechnen

Question

'Untersuche die Lagebeziehung der beiden Ebenen E1 und E2 und berechne die Gleichung der Schnittgeraden g!'

Kann mir jemand erklären, wie man das berechnet?

E1: x+y+z=1

E2: x-y+z=1

oder

E1: 14x-7y+28z=13

E2: 2x-y+4z=2

Answer 1

Ich vergleiche mal die Lagen der Ebenen:

E1: x+y+z=1  Normalenvektor n1 = ( 1 1 1)

E2: x-y+z=1 Normalenvektor  n2 = (1 -1 1)

Die beiden Normalenvektoren sind nicht parallel ==> Die beiden Ebenen schneiden sich in einer Geraden. 

oder

E1: 14x-7y+28z=13  , n1 = ( 14 -7 28)

E2: 2x-y+4z=2, n2 = ( 2, -1, 4) 

n1 = 7*n2 ==> Gleiche Richtung.

Sie liegen aber nicht aufeinander, denn 

E1: 14x-7y+28z=13

E2: 2x-y+4z=2      |*7

E2 = 14x -7y + 28 = 14 

Weil 14 ≠ 13 enthalten sie keine gemeinsamen Punkte.

==> E1 und E2 sind parallel zueinander. 

Comments

E1: x+y+z=1

E2: x-y+z=1

Schnittgerade?

Wähle 2 Punkte, deren Koordinaten beide Gleichungen erfüllen.

P(1 0 0) und Q( 0 0 1)

Daraus kann man eine Parametergleichung für die Schnittgerade basteln:

g:  X = (1 0 0) + t (-1 0 1) 

---

Lu,  du bist ein Held, Vielen vielen Dank 

Answer 2

Die Ebenen sind alle so gegeben, dass ihre Normalenform leicht gefunden wird. Wenn jetzt die Normalenvektoren kollinear sind, sind die Ebenen entweder Identisch oder parallel. Das ist in der zweiten Aufgabe der Fall. Aber wenn man die zweite Gleichung mit 7 multipliziert kommt nicht die erste Gleichung heraus. In der zweiten Aufgabe sind die Ebenen parallel.
In der ersten Aufgabe muss man beide Gleichungen in die Parameterform bringen und gleichsetzen. Das ergibt eine Beziehung zwischen den Parametern einer Ebene, die dort eingesetzt wird. Dann entsteht die Gleichung der Schittgeraden.