Auch wenn die Diskussion nun schon drei Jahre alt ist, möchte ich noch gerne die Frage beantworten, die wohl Johanna ursprünglich gemeint hat.
Ich glaube anhand ihrer Kommentare verstanden zu haben, dass sie wissen möchte, ob es Beispiele gibt, bei denen zwar das Kommutativgesetz gilt, aber das Assoziativgesetz nicht oder umgekehrt. Man also anhand konkreter Beispiele zeigen kann, dass beide Rechengesetze als eigenständige Gesetze ihre Daseinsberechtigung haben. Um diese Frage zu beantworten, ist es notwendig die abstrakte Definition der beiden Gesetzen innerhalb algebraischer Strukturen zu verstehen. In diesen bedeutet ein Rechenoperator wie + oder * nicht zwangsläufig, dass zwei Zahlen miteinander addiert beziehungsweise multipliziert werden, sondern dass darunter auch eine Vielzahl anderer Operationen fallen können. Des Weiteren ist die Menge, in der die Operationen angewandt werden, nicht notwendigerweise der klassische Zahlenbereich (wie rationale Zahlen, reelle Zahlen etc.), sondern es könne auch Mengen darunter fallen, die unter Umständen nur wenige Elemente beinhalten. Nun gilt es noch zu zeigen, dass es einen solchen Operator, nennen wir ihn °, gibt, bei dem zwar dass Assoziativgesetz gilt, d. h. a ° b ° c = a ° (b ° c) = (a ° b) ° c, aber das Kommutativgesetz nicht, d. h. a ° b ≠ b ° a. Tatsächlich gibt es in der Mathematik viele solcher Fälle, konkret sind alle Gruppen, welche nicht zu den abelschen Gruppen gehören, Beispiele davon.
Leider ist die ganze Theorie sehr abstrakt, sodass es nicht ohne hohen Aufwand möglich ist, konkrete Beispiele dafür anschaulich darzustellen.
