Question

Welche Lage hat die Gerade 4x+3y=25 zu dem Kreis x²+y²=25

Answer 1

4x + 3y = 25

Abstandsform

d = (4x + 3y - 25) / 5 = (4*0 + 3*0 - 25) / 5 = -5

Damit hat die Gerade den Abstand 5 vom Koordinatenursprung. Damit ist sie eine Tangente des Kreises.

Comments

Vielen Dank, aber ich kann die Antwort nicht interpretieren (kein Mathe Genie). Wie kommt man auf die Formel für d und wofür genau steht d?

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Wenn man eine Gerade hat

g: ax + by = c

Dann kann man sie in die Abstandsform

d = (ax + by - c) / √(a^2 + b^2)

bringen. Hier kann man für x und y einen Punkt einsetzen und so recht einfach den Abstand des Punktes von der Geraden bestimmen.

Ich habe in dem Fall für x,y einfach 0,0 eingesetzt und somit den Abstand der Geraden zum Kreismittelpunkt berechnet.

Alternative wäre ich lege eine Senkrechte zur Geraden g durch den Kreismittelpunkt. Berechne dann den Schnittpunkt der beiden Geraden und bestimme dann den Abstand des Schnittpunktes vom Kreismittelpunkt. Das ist allerdings etwas aufwendiger, warum ich diesen Weg gewählt habe.

Answer 2

  Wenn man die beiden Gleichungen nach y umstellt ergeben sich die Funktionen

  y = f(x) = ( 25 - 4*x ) / 3 für die Gerade und
  y = k(x) = √ ( 25 - x^2 ) für den Kreis ( Mittelpunkt bei (0Ι0), Radius = 5 )

  Die Skizze zeigt, das die Gerade den Kreis berührt. Die Gerade ist also eine
Tangente des Kreises. Mehr war, glaube ich, nicht gefragt.

  mfg Georg

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Answer 3

Annahme: Frage lautet:

Welche Lage hat die Gerade 4x+3y=25 zu dem Kreis x²+y²=25?

4x+3y=25 nach y auflösen:

3y = 25 - 4x

y = -4/3 x + 25/3

Allfällige gemeinsame Punkte berechnen:

y von g einsetzen in Kreisgleichung:

 x²+y²=25

 x²+(-4/3 x + 25/3) ²=25       |*9

9x^2 + (-4x + 25)^2 = 9*25

9x^2 + 16x^2 - 200x + 625 - 225 = 0

25x^2 - 200x + 400 = 0

x^2 - 8x + 16 = 0

(x-4)^2 = 0

x_1,2 = 4

Es gibt genau einen gemeinsamen Punkt von Gerade g und Kreis k. Daher muss g eine Tangente an k sein.