Lineares GLS Ergebnis überprüfen

Question

Welches der folgenden Aussagen sind falsch? 

Wie muss ich dass ausmultiplizieren? wenn eine Gleichung endlich viele Lösungen hat , kann es eine spezielle Lösung haben?

Wie erkennt man endlich viele Lösungen ?

Wäre dankbar wenn einer mir das erklären kann!

Answer 1

a + b + c = 1
2·a + b + c = 1

Löse das mit dem Gauss und erhalte: [0, 1 - c, c] = [0, 1, 0] + c*[0, -1, 1]

Beide Aussagen sind also richtig.

Answer 2

jede Zeile der ersten Matrix wird elementweise mit dem Spaltenvektor multipliziert und die Teilprodukte werden addiert:

\(\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 2&1&1\end{pmatrix}\) • \( \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\)  = \( \begin{pmatrix} x_1+x_2+x_3 \\ 2x_1+x_2+x_3 \end{pmatrix}\)

\( \begin{pmatrix} x_1+x_2+x_3 \\ 2x_1+x_2+x_3 \end{pmatrix}\) = \(\begin{pmatrix} 1\\ 1\end{pmatrix}\)

Wenn man z.B. x₁ = 0 wählt, sieht man sofort, dass man passend dazu für x₂ und x₃ beliebige Zahlen wählen kann, deren Summe = 1 ist. Das System hat also unendlich viele Lösungen.

\( \begin{pmatrix} x_1+x_2+x_3 \\ 2x_1+x_2+x_3 \end{pmatrix}\)  ergibt für x₁ = 0, x₂ = 1 und x₃ = 0  \(\begin{pmatrix} 1\\ 1\end{pmatrix}\)

\( \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\) = \( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) ist also eine spezielle Lösung des Systems.

Gruß Wolfgang