Lösen von GLS mit 4 Unbekannten

Question

Ich bekomme bei dieser Aufgabe die Lösung raus. Kann das richtig sein :

X= ( -x2 + 1

       x2

      0

      1)

Das ergibt doch kein Sinn ?

Answer 1

Hallo Denise,

Ausgangsmartix:

⎡ 1  1  -2   4  5 ⎤

|  2  2  -3   1  3 ⎥

⎣ 3  3  -4  -2  1 ⎦

wenn du beim Gauß-Algorithmus bei jedem Schritt die aktuelle Zeile durch die Differenz aus dieser Zeile und einem  passenden Vielfachen der Pivotzeile (= 1.Zeile, in der vor dem Diagonalenelement [≠0 ]  nur Nullen stehen, ggf. kann man Zeilen vertauschen) ersetzt, erhält man:

  x₁ x₂  x₃  x₄

⎡ 1  1  -2   4   5 ⎤

⎢ 0  0   1  -7  -7 ⎥

⎣ 0  0   0   0   0 ⎦

 2.Zeile → Man kann  x₂ = a und x₄ = b  beliebig wählen  →  x₃ = -7 + 7b 

( man könnte auch x₂ = a und x₃ = b beliebig wählen und x₄ ausrechnen. Dann ergäbe sich die gleiche Lösungsmenge in anderer Darstellung)

1. Zeile →  x₁ = 5 - 4b + 2 • (-7 + 7b ) - a = -9 + 10b - a 

Lösungsmenge: 

{  \( \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}\) = \( \begin{pmatrix} -9 \\ 0 \\ -7 \\ 0 \end{pmatrix}\)  +  a • \( \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)  +  b • \( \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \\ 7 \\ 1 \end{pmatrix}\)  mit a,b ∈ ℝ }

Gruß Wolfgang

Answer 2

a + b - 2·c + 4·d = 5
2·a + 2·b - 3·c + d = 3
3·a + 3·b - 4·c - 2·d = 1

II - 2*I ; III - 3*I

c - 7·d = -7
2·c - 14·d = -14

II ist das 2fache von I

d = d

c - 7·d = -7 --> c = 7·d - 7

b = b

a + b - 2·(7·d - 7) + 4·d = 5 --> a = -b + 10·d - 9

[-b + 10·d - 9, b, 7·d - 7, d] = [-9, 0, -7, 0] + b·[-1, 1, 0, 0] + d·[10, 0, 7, 1]

Comments

Vielen Dank aber ich habe das Ergebnis nicht verstanden? War mein Ergebnis dann falsch? Kannst du mir das genauer erkören?

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Dein Ergebnis war falsch. Das ist ein lineares Gleichungssystem, das man mit dem Additionsverfahren lösen kann. Man probiert also durch Addition von Gleichungen immer Unbekannte rauszukicken. Zunächst haben wir vier Unbekannte und nur 3 Gleichungen. Damit haben wir mind einen Freiheitsgrad. Beim Auflösen endteckt man dann noch eine abhängige Gleichung und hat damit z Freiheitsgrade. Man kann z.B. d und b frei wählen und erhält a und c in Abhängigkeit.

Die Lösung ist eine Ebene im Vierdimensionalen Raum.