Für Welche Werte von x ist Iy-7I<2? y=2x-1

Question

lim_x→4 2x-1=7 Die Frage: Wie nahe muss x an x₀=4 sein, damit y=2x-1 bspw. weniger als 2 Einheiten von 7 abweicht? Also: Für Welche Werte von x ist Iy-7I<2?
Musterlösung:
I2x-1-7I<2
I2x-8I<2
-2<2x-8<2   Wieso können hier die Betragszeichen entfernt werden?
6<2x<10
3<x<5  Warum ist es denn nicht der Intervall (3,5), sondern
-1<x-4<1 ? Es geht doch um x und nicht um x-4

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I2x-8I<2
-2<2x-8<2   Wieso können hier die Betragszeichen entfernt werden?

Für die Betragsfunktion gilt
| term |
Für term > 0 gilt : term
Für term < 0 gilt : term * (-1)

Gehe bei der Beantwortung ganz formal mit Fallunterscheidung vor

1.Fall 2x - 8 > 0
Dann gilt
2x - 8 < 2 | : 2
x - 4 < 1
x < 5

2.Fall 2x - 8 < 0
Dann gilt
( 2x - 8 ) * (-1 ) < 2
-2x + 8 < 2 | : 2
-x + 4 < 1
-x < -3 | * (-1)
x > 3

Zahlenstrahl

--------3---------------------------5 ------------
             ( x > 3 ) und ( x < 5 )

3 < x < 5

Answer 1

Meine Frage ist, warum sie den letzten Schritt machen? Die Rechnung ist aus einer Musterlösung und ihr Antwortsatz lautet:Halten wir x innerhalb eines Bereiches von 1 Einheit um x₀=4, so bleibt y im Bereich von 2 Einheiten um y₀=7.

Es geht doch letztlich darum zu überlegen wie nahe x bei 4 sein muss. s. Aufgabe:

Wie nahe muss x an x₀=4 sein, damit...

Der Abstand von x zu 4 wird durch den Term  | x-4 | beschrieben.

Kann du testen, wenn du für x ein paar Werte einsetzt, etwa  x=6

dann ist   | x-4 | =   | 6-4 | = 2 

oder x = 3,5   dann

    | x-4 | =   | 3,5 -4 | =   | -0,5 |  = 0,5  und das ist der Abstand von 3,5 und 4 .

Und damit man eine Aussage über den Abstand bekommt wird

3<x<5  umgeformt zu
-1<x-4<1   und das heißt ja

   | x-4 |<1     also Abstand kleiner als 1.

Answer 2

I2x-1-7I<2 
I2x-8I<2 

| A | < 2 bedeutet, dass A zwischen -2 und 2 liegen muss:
-2 < 2x-8 <2   Wieso können hier die Betragszeichen entfernt werden? 

6<2x<10  | : 2 
3 < x < 5  Warum ist es denn nicht der Intervall (3,5), sondern 

Ist es doch : L = ] 3 ; 5 [
-1 < x-4 < 1 ? Es geht doch um x und nicht um x-4

Bei der letzten Frage verstehe ich nicht, was du eigentlich wissen willst.

Gruß Wolfgang

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Meine Frage ist, warum sie den letzten Schritt machen? Die Rechnung ist aus einer Musterlösung und ihr Antwortsatz lautet:Halten wir x innerhalb eines Bereiches von 1 Einheit um x₀=4, so bleibt y im Bereich von 2 Einheiten um y₀=7.

Answer 3

I 2x-8 I  <  2
-2  <  2x-8  <  2   Wieso können hier die Betragszeichen entfernt werden?

Weil das der Definition des Betrages entspricht!