Kinematik e-Funktion integrieren

Question

könnte mir bitte jemand erklären, wie ich das folgende Integral löse (von 0 bis t)

x = x(t) = x_(0) + ∫ v_(0) * e^{-k t} dt

danke

Answer 1

x = x(t) = x₀ + ∫ v₀ * e^{-k t} dt

= x₀ +  v_o ∫  e^{-k t} dt

= x₀ +  v_o * (-1/k) *  e^{-k t}

Comments

Hallo und vielen Dank, leider weiss ich nicht, wie man auf -1/k kommt..

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Du kennst sicher die Kettenregel beim Ableiten

Die Ableitung von e ^-kt ist deshalb  - k* e ^-kt

Also ist die Ableitung von ( -1/k) ^* e ^-kt

damit  ( -1/k) ^* -k * e ^-kt  =   e ^-kt

und deshalb  ( -1/k) ^* e ^-kt  eine Stammfunktion für e ^-kt .

Kannst du auch mit der Substitutionsregel der

Integration herleiten.

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vielen Dank, das ist verständlich. Könntest Du mir bitte auch die Integration mithilfe der Substitution einmal mit dieser Funktion kurz erklären?

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siehe Antwort Mew

Answer 2

x = x(t) = x₀ + ∫ v₀ * e^{-k t} dt

Per Substitution:

x = x(t) = x₀ + v₀∫ e^{-k t} dt

wir substituieren

-kt = z(t)

∫ e^{-k t} dt = ∫ e^z dt

und leiten z(t) ab um ein dt zu bekommen

dz/dt = -k

umstellen

dt = dz/-k

und einsetzen

∫ e^z dt = ∫ e^z/-k dz

= (1/-k) * ∫ e^z dz

= (1/-k) * e^z

und das ist dann die Teillösung, welche du in den Anfang wieder einsetzen kannst:

x(t) = x₀ + v₀ * (1/-k) * e^z dt