Treffpunkt von Zügen

Question

Ich habe folgende Aufgabe und weiß nicht wie ich das berechne: A und B sind 100km voneinander entfernt. Zug A fährt um 10:00 mit 40 km/h los, nach 15 min beschleunigt er auf 60 km/h. Zug B fährt Zug A um 10:10 mit 30 km/h entgegen, nach 10min beschleunigt er auf 60 km/h. Zeit zum Beschleunigen wird vernachlässigt! Wann und Wo treffen sich die Züge??

Hoffe mir kann jemand Helfen...

Answer 1

man sollte sich vor dem Lösen mit Hilfe eines Zeit-Weg-Diagramms klar machen, wann welcher Zug wo ist. Das könnte so aussehen:

 

nach rechts geht die Zeitachse und nach oben die Weg-Achse. Der Zug \(A\) ist um 10:00 bei der Position 0km. Der Zug \(B\) ist 100km entfernt - also bei Position 100km. Jede Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit zeichnet sich in dem Diagramm als Gerade. Zug \(A\) fährt mit 40km/h los. Seine Weg-Funktion ist zu diesem Zeitpunkt

$$s_A(t) = 40\frac{\text{km}}{\text{h}} \cdot t$$

\(t\) ist die Zeit. D.h. wenn der Zug \(A\) so weiter fahren würde, wäre er nach einer Stunde bei Position \(40\text{km/h} \cdot 1\text{h}=40\text{km}\). Und nach 15min d.h 1/4Stunde ist er bei

$$s_A(t=\frac14 \text{h}) = 40\frac{\text{km}}{\text{h}} \cdot \frac14 \text{h} = 10 \text{km}$$

Das ist die Position \(A_1 = (10:15; \space 10\text{km})\) in dem Diagramm. Von dort geht es mit 60km/h weiter - dann wird seine Weg-Funktion (rot) zu

$$s_A(t)= 10 \text{km} + 60\frac{\text{km}}{\text{h}} \cdot (t - 15\text{min})$$

Genauso geht man bei \(B\) vor. Dieser Zug startet aber erst um 10:10 und seine Geschwindigkeit ist 'negativ', da er in dem gewählten Koordinatensystem in Richtung kleinerer Positionen fährt. Seine Weg-Funktion (grün) ist zunächst:

$$s_B(t) = -30 \frac{\text{km}}{\text{h}}(t - 10\text{min}) + 100 \text{km}$$

Diese Funktion gilt natürlich erst ab \(t \ge 10\text{min}\). Nach 10 weiteren Minuten (also bei \(t=20\text{min}\)) ist \(B\) bei

$$s_B(t=20\text{min}) = -30 \frac{\text{km}}{\text{h}}(20\text{min} - 10\text{min}) + 100 \text{km}$$

$$\space = -30 \frac{\text{km}}{\text{h}}(\frac16 \text{h}) + 100 \text{km} = 95\text{km}$$

Dies ist die Position \(B_1\). von dort geht es weiter mit -60km/h:

$$s_B(t)= 95\text{km} - 60 \frac{\text{km}}{\text{h}} \cdot (t - 20\text{min})$$

Auf dem folgenden Wegstück treffen sich beide Züge. Dies ist genau dann der Fall, wenn

$$s_A(t)=s_B(t)$$

das setze ich jetzt ein:

$$10 \text{km} + 60\frac{\text{km}}{\text{h}} \cdot (t - 15\text{min})=95\text{km} - 60 \frac{\text{km}}{\text{h}} \cdot (t - 20\text{min})$$

und erhalte \(t=1h\) und die Position ist \(55\text{km}\). Falls Du Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

Comments

Vielen Dank schon mal für Hilfe, aber wieso sollten sie sich in der Mitte ( s_A(t)=sB(t) ) treffen?? Es kommt ja auch nicht die Mitte als Ergebnis raus, aber die Zurückgelegten Wege sollen gleich sein...??

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\(s_A(t)=s_B(t)\) ist nicht die Mitte, sondern bedeutet lediglich, dass die Züge zum Zeitpunkt des Treffens am selben Ort sind. Sonst nichts!

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Wenn Du irgend etwas von obiger Anleitung nicht verstanden hast, so solltest Du ruhig nochmal nachfragen. Aus Deiner Frage nach der 'Mitte' schließe ich, dass Dir evt. gar nicht klar ist, was \(s(t)\) überhaupt bedeutet.

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s(t) ist der Weg in abhänigkeit von der Zeit...ich muss sowas eigentlich können, hab im Mechanik Unterricht nur zu wenig aufgepasst...;-) Die Frage mit der mitte hab ich mir nur gestellt weil ich da nicht geschnallt hab, dass der eine ja eine negative Geschwindigkeit hat, s_B ist ja quasi von der gleichen Richtung aus zu sehen wie s_A  , ich hab s_B  von der anderen Seite aus angenommen....