Mir ist es sehr wichtig, die exakte Definition von Grenzwerten zu verstehen, deswegen diese ausführliche Frage:
$$ \lim_{x\to~-3}\frac{x^2-9}{x+3}=-6\\\lvert {x\to~-3}\frac{x^2-9}{x+3}+6 \rvert<\epsilon~\leftrightarrow -\epsilon < x+3 < \epsilon \leftrightarrow -\epsilon -3 < x <\epsilon-3 $$ Die UngleichungIch If(x)+6I<ε gilt also für den Intervall (-ε-3,ε-3). Jetzt muss ich einen Wert δ bestimmen, um das Intervall -3-δ<x<-3+δ in das Intervall (-ε-3,ε-3) zu legen. Ich würde in diesem Fall mein δ≤ε wählen, da ε innerhalb des Intervalls (-ε-3,ε-3) liegt und der kürzeste Abstand zum nächsten Endpunkt des Intervalls darstellt. Ich habe also ein δ gefunden, dass zu jedem noch so kleinem Epsilon, die Ungleichung If(x)+6I<ε erfüllt und somit können sich die Funktionswerte von f(x) beliebig nahe dem Grenzwert -6 nähern. Es gilt also: 0<Ix+3I<ε → If(x)-6I <ε
Muss ich im Falle einer stückweise definierten Funktion, einfach nur für jede einzelne Funktion den Grenzwert beweisen oder muss man hier etwas besonderes beachten? Aufgabe richtig?
$$ \lim_{x\to1} f(x)=2,~~f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 4-2x,& x<1\\ 6x-4, & x\ge 1\end{array}\right. \\ Z.z:~\lvert x-1 \rvert <\delta \rightarrow \lvert f(x)-2\lvert \\\lvert 4-2x-2 \rvert=\lvert 2-2x \rvert=-2\lvert x-1\rvert<\epsilon \leftrightarrow \lvert x-1\rvert <\frac{-\epsilon}{2}~~Sei ~\delta=\frac{-\epsilon}{2}, dann~ gilt~\lvert x-1 \rvert <\frac{-\epsilon}{2} \rightarrow \lvert 4-2x-2 \rvert <\epsilon $$ Bei dem nächsten bekomme ich folgendes heraus:
$$ \lvert 6x-4-2 \rvert=\lvert 6x-6 \rvert=6\lvert x-1\rvert<\epsilon \leftrightarrow \lvert x-1\rvert <\frac{\epsilon}{6}~~Sei ~\delta=\frac{\epsilon}{6}, dann~ gilt~\lvert x-1 \rvert <\frac{\epsilon}{6} \rightarrow \lvert 6x-6 \rvert <\epsilon $$
Ist diese Aufgabe korrekt?
$$ \lim_{x\to1} \frac{1}{x}=1\\\lvert \frac{1}{x} -1\rvert <\epsilon ~\leftrightarrow~-\epsilon< \frac{1}{x} -1<\epsilon \leftrightarrow~-\epsilon+1< \frac{1}{x}<\epsilon +1 \\~~\leftrightarrow~~\frac{1}{-\epsilon+1}< x<\frac{1}{\epsilon +1} \\ Sei ~\delta= \frac{1}{\epsilon +1},~ dann~gilt~\lvert x-1 \rvert<\frac{1}{\epsilon +1} \rightarrow\lvert \frac{1}{x}-1 \rvert< \epsilon $$
Und die letzte Frage
Ich habe Probleme, bei der folgenden Aufgabe, die Umformung zu tätigen und den Intervall zu berechnen, indem If(x)-0I<\epsilon gilt.
$$\lim_{x\to 0} x^2\sin \frac{1}{x}=0 $$
Ich habe mir sehr viel Mühe gegeben, bei dieser Frage und würde mich über eine Antwort sehr freuen :)
Könnte sein, dass der Latex-code teilweise nicht korrekt angezeigt wird, mit dem Tex-Tool klappt es aber einwandfrei.
