Beweise, dass A diagonalisierbar in C

Question

Sei \(A\in M_n(\mathbb{C})\) s.d. ein \(m\in \mathbb{N}\) existiert mit \(A^m=E_n\). Beweise, dass A diagonalisierbar  ist in den komplexen Zahlen.

Answer 1

Hi,
es gilt \( A^{m+1} - A = 0  \) also ist das Minimalpolynom von \( A \) ein Teiler von \( x^{m+1} - x \)
Es gilt weiter \( x^{m+1} - x = x(x^m-1) \) Im komplexen hat dieses Polynom \( m+1 \) verschiedene Nullstellen. Also hat auch das Minimalpolynom \( m+1 \) verschiedene Nullstellen und damit ist \( A \) diagonalisierbar.