Ungleichungen per vollständiger Induktion beweisen: a_(n) ≥ −9 und a_(n+1) − a_(n) ≤ 0 für alle n ∈ N.

Question

ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:

Die Folge {an}_n∈N sei definiert durch a₁ = 0 , a_n+1 = (a_n /3 )  − 1

Wie kann ich hier per vollständiger Induktion zeigen, dass a_n ≥ −9 und dass a_n+1 − a_n ≤ 0 fur alle n ∈ N gilt?

Grüße

Comments

Bisher musste ich nämlich immer an einer Funktion die vollständige Induktion durchführen, da hatte ich auch keine Probleme mit. Aber ich verstehe irgendwie nicht ganz, wie man das jetzt auf Ungleichungen übertragen kann. Muss man hier auch einfach nur für a_n = a_n+1 einsetzen?

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Falls \(a_n>-\frac32\) gilt, dann ist \(a_{n+1}=\frac13a_n-1>\frac13\cdot\left(-\frac32\right)-1=-\frac32\).

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\(a_{n+1}-a_n=\frac13a_n-1-a_n=-\frac23a_n-1<\left(-\frac23\right)\cdot\left(-\frac32\right)-1=0\).

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Aber in meinem Fall wird die Folge a_n ja immer kleiner, wäre in deinem Bespiel dann a_n+1 trotzdem größer als (1/3)*(-3/2)-1  ?

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Die Folge ist nach unten durch \(-\frac32\) beschränkt und monoton fallend.

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Achso, also könnte ich in meinem Beispiel sagen:

an>= -9, dann muss an+1 auch >=-9..eingesetzt in an+1 kommt dann -4 heraus, was die Aussage richtig macht.

Ist das soweit richtig?

Beim zweiten Teil komme ich aber irgendwie nicht weiter. (-2/3)*(-9)-1=5 und das ist nicht kleiner gleich 0, oder habe ich irgendetwas übersehen?

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Oh ich merk gerade, dass die -3/2 für die Aufgabe gelten. Sorry!! Ich dachte du hast nur ein Beispiel gebracht. Leider soll ich erst bei der zweiten Teilaufgabe die Beschränkheit beweisen, ich glaub die wollen einen anderen Weg sehen, obwohl ich deinen sehr logisch finde.

Gibt es vielleicht noch andere Art das zu lösen?

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Zu zeigen ist, dass die Folge nach unten beschränkt ist. Ein Induktionsbeweis dazu befindet sich oben in Kurzform.

Answer 1

Die Folge {an}_n∈N sei definiert durch a₁ = 0 , a_n+1 = (a_n /3 )  − 1

Wie kann ich hier per vollständiger Induktion zeigen, dass a_n ≥ −9 und dass a_n+1 − a_n ≤ 0 fur alle n ∈ N gilt?

zu a_n ≥ −9 fur alle n ∈ N:

für n=1 ist es wahr.
sei es wahr für n, dann gilt
   a_n+1 = (a_n /3 )  − 1      ≥  (-9 /3 )  − 1  = -4  > -9 also ist dann auch a_n+1  ≥ −9.

Comments

Danke für die Antwort. Könntest du mir noch sagen, warum a_n+1-a_n<=0 ist?

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wie in dem 2. und 3. Kommentar gezeigt.