Nullstellen von einer ganzrationale Funktionen bestimmen

Question

ich muss bei einer ganzrationalen Funktion die Nullstellen bestimmen. Mir ist zwar der Ablauf bekannt, wie man dies macht, jedoch komme ich bei folgender Funktion nicht weiter.

f: x-> 1/10x^5-1/2x

f:x -> 1/10^5-1/2x = 0           |Einklammern

f:x ->x(x^4(-5)) = 0

Chris

Comments

f: x-> 1/10x⁵-1/2x
f ( x ) = 1/10 * x^5 - 1/2 * x

1/10 * x^5 - 1/2 * x = 0  | x ausklammern
x * ( 1/10 * x^4 - 1/2 ) = 0
Satz vom Nullprodukt
x = 0
und
1/10 * x^4 - 1/2 = 0
x^4 = 5
x = ± 1.4953

~plot~  1/10 * x^5 - 1/2 * x ~plot~

---

Vielen Dank Georg, für deine schnelle und so ausführliche Antwort, du hast mir damit sehr geholfen.

Ich habe nur noch eine Frage. Wie komme ich vom x^4 = 5 auf die Lösungen?

---

x^4 = 5 | hoch (1/4 )

( x^4 ) hoch 1/4  = 5^{1/4}
x = 5^{1/4}  | Taschenrechner
x = ± 1.4953

Die negative Lösung würde bei hoch 4 wieder postiv werden.

oder

x^4 = 5 | ln ()
ln ( x^4 ) = ln ( 5 )
4 * ln ( x ) = ln (5 )
ln ( x ) = ln ( 5 ) / 4 = 0.40236  | e
x = e^0.40236 = 1.495

Falls du wieder / andere Fragen hast dann neu einstellen.

---

Danke, jetzt habe ich es verstanden.

---

oder

x⁴ = 5 | ln ()
ln ( x⁴ ) = ln ( 5 )
4 * ln ( x ) = ln (5 )
ln ( x ) = ln ( 5 ) / 4 = 0.40236  | e
x = e^0.40236 = 1.495

Falls du wieder / andere Fragen hast dann neu einstellen.

Um mich und andere zu wiederholen: Rationale Gleichungen löst man eigentlich nicht durch Logarithmieren mit anschließendem Delogarithmieren. Das ist unnötig und umwegig. Hier kommt noch hinzu, dass die Rechnung in dieser Form falsch ist, was daran zu erkennen ist, das eine Lösung verloren ging.

---

1.) eine Alternativrechnung aufzuzeigen ist sicherlich nicht verkehrt.
Das hast du mit deiner Antwort ja auch gemacht.

Da ich bereits darauf hingewiesen hatte
Die negative Lösung würde bei hoch 4 wieder postiv werden.

Sollte es mit diesem Hinweis dann auch gewesen sein.

mfg Georg

 

Answer 1

Hi, dein Faktorisierungsansatz ist ganz gut. Führe ihn so weit wie möglich durch und lies die drei Nullstellen einfach ab:$$\begin{aligned} f: x \rightarrow &\frac { 1 }{ 10 } \cdot x^5-\frac { 1 }{ 2 } \cdot x = \\&\frac { 1 }{ 10 } \cdot x \cdot \left(x^4-5 \right) = \\&\frac { 1 }{ 10 } \cdot x \cdot \left(x^2-\sqrt { 5 } \right) \cdot \left(x^2+\sqrt { 5 } \right) = \\&\frac { 1 }{ 10 } \cdot x \cdot \left(x-\sqrt [4\,\,] { 5 } \right) \cdot \left(x+\sqrt [4\,\,] { 5 } \right) \cdot \left(x^2+\sqrt { 5 } \right).\end{aligned} $$