Folgen, die Wurzeln enthalten vereinfachen

Question

Hi,

kann mir jemand sagen, wie man diese Folgen a_n=(n-1)/(√n²+1) und a_n=√n+1 - √n am besten vereinfacht?

Mir fällt wirklich nichts ein bei diesen Folgen. Ich brauche sie daher vereinfacht, weil ich mit dem Abschätzverfahren das N in Abhängigkeit von Epsilon errechnen will, das wiederum beweisen soll, dass die Folge konvergiert (falls dies der Fall ist). 

Comments

Dritte binomische Formel. Solche Aufgaben sind ein Klassiker.

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Achtung: Aufgabensteller hat vermutlich Klammer vergessen oder falsch gesetzt. Deshalb gibt es 2 Gruppen von Antworten.

Eindeutiger statt Wurzel-Zeichen sind Funktionen, wie sie JEDES Programm (Javascript, php, WolframAlpha, Iterationsrechner ,...)

verwendet. Die Aufgaben lauten vermutlich:

a_n=(n-1)/sqrt(n²+1) und

a_n=sqrt(n+1)-sqrt(n)

Answer 1

a_n=(n-1)/(√n²+1).  So, wie du das wiedergegeben hast, ist das (n-1)/(n+1).

Und a_n=√n+1 - √n ist konstant 1. Beide Folgen haben in dieser Darstellung den Grenzwert 1.

Answer 2

Vorbereitung. Man braucht die binomischen Formeln. (Nachschauen).

Annahme n^2 + 1 ist unter der Wurzel.

a_n=(n-1)/√(n²+1)        | Wurzel über den ganzen Bruch nehmen

a_(n) = √ ((n-1)^2 / (n^2 +1 ))               | Klammer im Zähler auflösen

= √ (( n^2 - 2n + 1)/(n^2 + 1))         | kürzen mit n^2

= √ ( (1 - 2/n + 1/n^2) / (1 + 1/n^2)  )       

Nun: Grenzübergang.

lim_(n->unendlich) a_(n)  = √ (( 1 - 0 + 0) / (1 + 0)) = √1 = 1

Faustregel zur Kontrolle des Resultates 1. 

Relevant ist der Summand mit der höchsten Potenz von n. Das ist oben n^1 und unten √(n^2) = n^1 . Da vor beiden der Faktor 1 steht und 1/1 = 1, ist der berechnete Grenzwert plausibel. 

und Klammern (falls + 1 noch unter der Wurzel ist)

a_n=√(n+1) - √n          | erweitern mit 3. Binom

a_(n) = ( (√(n+1)- √n)(√(n+1) + √n) ) / (√(n+1) + √n) 

= ( (n+1) - n) /  (√(n+1) + √n) 

= 1/  (√(n+1) + √n) 

Grenzübergang   ergibt , da der Zähler fest und den Nenner gegen unendlich 

lim_(n-> unendlich) a_(n) = 0

Comments

Hi, die erste Wurzel (in der korrigierten Klammerung) lässt sich auch leicht so vereinfachen:$$ a_n = \frac { n-1 } { \sqrt { n^2+1 } } = \sqrt { 1 - \frac { 2n }{ n^2+1 } }$$Danach gibt es verschiedene Möglichkeiten, die Konvergenz zu begründen.

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Schöne Ergänzung. Danke.