Welche reellen Zahlen x erfüllen folgende Gleichung mit Betrag: |x2-3x+6|=|x-3|

Question

Welche reellen Zahlen x erfüllen folgende Gleichung:

$$ |x2-3x+6|=|x-3| $$

Comments

Ist das x2 ein 2*x?

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PQ Formel anwenden

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|x²-3x+6|=|x-3|

Answer 1

Es gibt nur zwei Zahlen für x die komplexer Natur sind.

Das wären x1=2+√5i  und x2=2-√5i . Man kommt auf diese Werte wenn man so umformt dass man auf einer Seite 0 hat. Hier   |x²-4x+9|=0 Das löst du mit der pq-Formel und kommst auf meine errechneten Werte.

Comments

 >  |x²-4x+9|=0

Wie kommst du auf diese Umformung?

 |x²-4x+9| = |x-3|

⇔ [ x ≥ 3  ∧  x² - 4x + 9 = 0 ] ∨ [ x < 3 ∧  x² - 2x + 3 = 0 ] 

Es gibt aber tatsächlich keine reelle Zahl, welche die Gleichung erfüllt.

Aber es gibt sehr viel mehr komplexe Lösungen der Ausgangsgleichung über der Grundmenge ℂ:

x = - √(√73/4 - 2) + 3/2 - i·(√(√73/4 + 2) + 1/2)  ∨  x = - √(√73/4 - 2) + 3/2 + i·(√(√73/4 + 2) + 1/2)

∨  x = √(√73/4 - 2) + 3/2 + i·(1/2 - √(√73/4 + 2))  ∨  x = √(√73/4 - 2) + 3/2 + i·(√(√73/4 + 2) - 1/2)

∨ x = 2 - √5·i   ∨     x = 2 + √5·i   ∨   x = 1 - √2·i   ∨    x = 1 + √2·i

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Du hast Recht. Ich hab die zweite Möglichkeit der Umformung vergessen und so sind auch zwei Werte auf der Strecke geblieben. Danke für die Korrektur :)

Answer 2

in der Grundmenge ℝ hat  die Gleichung x² - 3x + 6 = 0  keine Lösung

→  x² - 3x + 6 > 0  →  | x² - 3x + 6 | = x² - 3x + 6

Es bleiben also die beiden Fälle  x ≥ 3 und  x < 3 zu  unterscheiden. Für x≥3 kann man den Betrag rechts weglassen, für x<3 kann man ihn weglassen, wenn man ein Minuszeichen vor das Argument setzt:

x ≥ 3  ∧  x² - 3x + 6 = x - 3 ⇔  x ≥ 3 ∧  x² - 4x + 9 = 0    →  L₁  =  { }

x < 3  ∧  x² - 3x + 6 = -x + 3 ⇔  x ≥ 3 ∧  x² - 2x + 3 = 0  →  L₂  =  { }

→   | x² - 3x + 6 |  = | x - 3 |   hat über ℝ die Lösungsmenge    L = { }   

Gruß Wolfgang