polstelle und hebbare Lücke

Question

ich beschäftige mich derzeit mit den Polstellen und hebbaren Lücken, und nun bin ich an einer stelle stehen geblieben.

undzwar würde ich gerne wissen, wann eine Polstelle oder wann eine hebbare Lücke vorliegt nachdem ich eine gebrochenrationale Funktion in linearfaktoren zerlegt habe.

ich danke vielmals im voraus!!

Comments

Hilfreich wäre auch eine Erklärung was es mit dem Vorzeichenwechsel bei Polstellen und dem Ergänzungswert bei  hebbaren Lücken auf sich hat.

DANKE

Answer 1

Hi

du musst ja bei gebr. rationale Funktionen den Nenner null setzen für Definitonslücken. Die x-Werte , die du dann erhältst sind dann schon mal deine Polstellen. Wenn eben diese x-Werte eingesetzt in den Zähler der Funktion auch null ergeben, dann liegt an diesen Stellen auch eine hebbare Lücke vor.

Comments

Lieber Gast
du darfst nicht alles (manchmal sogar : gar nichts) von dem glauben, was dir in diesem Forum so als Antwort offeriert wird.

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> Die x-Werte , die du dann erhältst sind dann schon mal deine Polstellen.

Das sind erst einmal Definitionslücken (können auch stetig hebbare Lücken sein ≠ Polstellen)

> Wenn eben diese x-Werte eingesetzt in den Zähler der Funktion auch null ergeben, dann liegt     an diesen   Stellen auch eine hebbare Lücke vor.

Nein, denn z.B. bei   (x² - 4) / ( x-2)²   ist x=2  keine hebbare Lücke sondern eine Polstelle, obwohl sowohl Zähler als auch Nenner für x=2 den Wert 0 haben.

Eine hebbare Lücke x₀ liegt nur dann vor, wenn sich der zugehörige Linearfaktor x-x₀ im Nenner vollständig wegkürzen lässt.

@Gast hj2155: Die hervorragende Zusammenarbeit hier im Forum führt dazu, dass eventuelle Fehler fast immer in Kommentaren zufriedenstellend aufgearbeitet werden :-) 

Kommentare wie der deinige sind dabei allerdings nicht hilfreich!

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Eine Polstelle mit VZW ist wenn sich je kurz vor und nach der Polstelle das Vorzeichen ändert. Hier ein Beispiel.

 ~plot~(2x)/(x-9)~plot~

 Du siehst bei Annäherung von links zu Polstelle strebt y gegen -∞ .Bei Annäherung von rechts zur Polsttele strebt y gegen +∞. hat

Eine Polstelle ohne VZW siehst du hier: ~plot~6/(5x^2)~plot~  . Die y-Werte streben bei beidseitiger Annäherung zu r Polstelle gegen +∞ . Es gibt also keinen VZW.

Bei einem Ergänzungswert einer hebbaren Lücke handelt es sich um eine Funktion mit einer hebbaren Lücke z.B

die Funktion.

 ~plot~(x+1)/(x^2-x-2)~plot~

Hier ist die hebbare Lücke bei -1.  An deer Stelle ist sozusagen ein Loch in der Funktion. Da die Funktion kurz und nach der Stelle aber nicht wie bei einer Polstelle gegen + oder -∞ strebt sondern aussieht wie eine stetige Funktion ist der Ergänzungswert hier (-1|f(-1)), welcher das "Loch stopft"

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Danke für die Korrektur @ Wolgang. Ich habe es jetzt korrigiert. Habe etwas zu vorschnell geantwortet.

Gruß

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Vielen Dank an euch beide !

Nochmal eine kurze Frage, um zu schauen ob ich es richtig verstanden habe, wenn nach dem kürzen die ursprüngliche Defintionslücke verschwindet aus dem Nenner liegt eine herbbare Lücke vor und wenn sie bleibt eine Polstelle.

Wäre diese Aussage richtig ?

Ich habe nämlich die Folgende Aufgabe:

f(x)=x^4-2x^3-13x^2+14x+24/(x^3-6x^2+12x-8)

Ich wäre der Ansicht x=2 ist eine Polstelle, weil nach den Kürzen die Nullstelle im Nenner bleibt. Nun bin ich mir nicht sicher ob das stimmt ..

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Du hast ja vor dem Kürzen einmal (x-2) im Zähler und (x-2)³ im Nenner. Durch kürzen kommst du auf 1 im Zähler und (x-2)²  Nenner. Da nun x=2 auch Nullstelle des gekürzten Funktionsterms ist, handelt es sich bei x=2 um einen Pol.

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Bei 0 / 0 für x = 2 kann L´Hospital angewandt werden.
Falls bekannt führe ich das gern einmal vor.
Es ergibt sich x = 2 ist eine Polstelle.

~plot~ ( x^4 - 2*x^3- 13*x^2 + 14 * x + 24 ) / ( x^3 - 6 * x^2 + 12 * x - 8 ) ~plot~

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Hey Georg.

Hast du dich vielleicht verschrieben?

Es ergibt sich x = 0 ist eine Polstelle. 

Du meinst x=2 oder?

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Vielen vielen Dank an alle die geholfen haben!!!

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Da habe ich mich verschrieben und auch oben korrgiert.

Answer 2

Zusammenfassung an einem (für Aufgaben unrealistischen :-))  Beispiel:

Man habe die Nullstellen des Zählers und des Nenners mit der jeweiligen Vielfachheit, kann also jeweils die Linerfaktorzerlegung hinschreiben:

f(x) = \(\frac{(x-1)·(x-2)^2·(x-3)·(x-4)}{(x-1)·(x-2)·(x-3)^2·(x-5)^2}\)  =_D \(\frac{(x-2)·(x-4)}{(x-3)·(x-5)^2}\) 

x=1, x=2, x=3 und x=5 sind Definitionslücken

x=3 und x=5 sind Polstellen  (x=3 mit VZW, x=5 ohne VZW)

x=1 und x=2 sind stetig behebbare Lücken

x=4 ist eine Nullstelle von f

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang,

eine gelungene Zusammenstellung.

Zur ersten Antwort von Frontlinier,
der Zusatz : " dies sind zunächst die Faustformeln... " wäre als
Eingangsbemerkung  sicher nicht verkehrt gewesen.

  Eine weitere Erörterung der Fälle, Sonderfälle und exakteren Definitionen
kann bei Nachfragen oder Hinweisen immer erfolgen.

  mfg Georg