Betragsungleichungen berechnen?

Question

Ich habe hier folgende Betragsungleichung:

|2 - x| >= 4 |x+2|

Ich komme für x auf folgende Lösungen: -2 , -(10/3) und -(6/5), es gibt aber laut Lösung noch eine: -3, wie komm ich denn auf die -3? Ich habe anscheinend einen Fall übersehen, aber mir ist nicht klar welcher... Kann jemand bitte kurz helfen?

Comments

Hier einmal die Berechnung 1 Falles

~plot~ abs(2-x)-4*abs(x+2);x=-2;x=2 ; [[ -5 | 5 | -25 | 5 ]] ~plot~

Alles was oberhalb der x-Achse ist gehört zur Lösungsmenge.

---

Wichtig ist wann die Betragsfunktion 0 ist.

Für über oder unter null ( positiv oder negativ ) bedeutet die Betragsfunktion

term > 0 : | term |  = term
term < 0 : | term | = term * (-1)

Mit folgender Vorgehensweise bleibt die Übersicht erhalten

- Nullpunkt der Betragsfunktion feststellen

Hier x = -2 und x = 2

- auf einem Zahlenstrahl werden die Werte eingetragen

- es ergeben sich 3 Bereiche die getrennt untersucht werden müssen.

Answer 1

Es braucht keine Fallunterscheidung.$$\quad\ \vert 2-x\vert\ge4\vert x+2\vert$$$$\Leftrightarrow(x-2)^2-(4x+8)^2\ge0$$$$\Leftrightarrow(3x+10)\cdot(5x+6)\le0.$$