relative Messfehler in Prozenten

Question

Die Größe x = 2 sei mit einem relativen Fehler von 5% gemessen worden. Wie groß ist der relative Fehler von

Wie groß darf der relative Messfehler für x höchstens sein, damit der relative Fehler von f(x) nicht größer als 1% ist?

Answer 1

a)

Δf(x)=√[(df/dx*Δx)^2]=2*x*(x^2+1)^{-2}*Δx

Δx=x*Δ_rx=2*0.05=0.1

-->Δf(2)=2*2*(2^2+1)^{-2}*0.1=0.016

f(2)=0.2

Δ_rf(2)=Δf(2)/f(2)=0.016/0.2=0.08= 8%

b)Δf(2)/f(2)=2*2*(2^2+1)^{-2}*Δx/0.2=0.8*Δx=0.8*2*Δ_rx=1.6*Δ_rx=!0.01

--> Δ_rx= 0.01/1.6=0.00625=0.625%

Der relative Fehler darf also nicht größer als 0.625% sein.

Comments

Hi,

es war zwar nicht meine Frage, aber vielleicht kannst du mir folgendes kurz erklären:

Warum ist der absolute Fehler Δf(x) = √[(df/dx*Δx)²] = df/dx*Δx, also die Ableitung der Funktion nach x, multipliziert mit dem absoluten Fehler Δx?

Ich finde eine solche Definition nicht. Alle weiteren Schritte sind nach vollziehbar.

Danke

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Wenn man die Stelle x um Δx verfehlt, dann ändert sich f(x) zu f(x+Δx). Unter der Annahme, das Δx  klein ist,kann man f(x+Δx) durch eine lineare Funktion (Taylorentwicklung) annähern.

f(x+Δx)=f(x)+f'(x)*Δx+...

Der Fehler Δf(x)=abs[f(x+Δx)-f(x)]=abs[f(x)+f'(x)*Δx-f(x)]=abs[f'(x)*Δx]=sqrt([f'(x)*Δx]^2)

Den Betrag bwz. erst quadrieren und dann Wurzelziehen macht man,damit der Fehler positiv ist. Das ist eine Konvention.

Hier findest du weitere Informationen dazu, z.B falls es mehrere fehlerbehaftete Messgrößen gibt:

https://de.wikipedia.org/wiki/Fehlerfortpflanzung