Kugeln aus der Urne auswählen

Question

Hallo :)
Hier eine kleine Aufgabe :

(1)In einer Urne sind 8 Kugeln, 7 rote und eine blaue. Tim und Uwe nehmen abwechselnd eine Kugel und legen sie nicht zurück. Wer die blaue zieht gewinnt . Uwe beginnt , wer von beiden hat die besseren gewinnchancen ?

(2)Jetzt sind anfangs 4 rote und 4 blaue Kugeln in der Urne  Es gewinnt wieder der, der zuerst eine blaue zieht , wer hat bessere chancen?

(3) selbe bedingungen wie (2) , nur die kugeln werden sofort zurück gelegt.

würde mich über eine lösung sehr freuen, lg :)

Answer 1

Zu 1): Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die einzige blaue Kugel beim ersten, zweiten, dritten,... siebten oder achten Zug gezogen wird, ist jeweils gleich, nämlich 1/8. Damit ist es egal, wer anfängt, Tim und Uwe haben jeweils die gleiche Gewinnchance 4*1/8 = 1/2. Man möchte eigentlich annehmen, dass der, der zuerst ziehen darf, im Vorteil ist, jedoch ist dies überaschender Weise hier nicht der Fall. Eine hübsche Aufgabe! Die anderen lasse ich mal offen.

Comments

vielen dank :)

wie siehts aus mit (2) und (3)?

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" Zu 1): Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die einzige blaue Kugel beim ersten, zweiten, dritten,... siebten oder achten Zug gezogen wird, ist jeweils gleich, nämlich 1/8 "

  Liegt hier nicht ein Fehler vor ? Die Kugeln werden nicht zurückgelegt. Wahrscheinlichkeit beim 1.Ziehen  1/8, dann ( bei 7 Kugeln ) 1/7, usw.

  mfg Georg

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"Liegt hier nicht ein Fehler vor?"

Tja, das meint man gerne, aber es gilt:
Wahrscheinlichkeit der Blauen im
1. Zug: 1/8
2. Zug: 7/8 * 1/7 = 1/8
3. Zug: 7/8 * 6/7 * 1/6 = 1/8
4. Zug: 7/8 * 6/7 * 5/6 * 1/5 = 1/8
...
8. Zug: (...) = 1/8.

Das ist "eigentlich" auch anschaulich klar, je nach dem, wie man es betrachtet.

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das hast du sehr schön klar dargestellt

mfg Georg

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doch wie geh ich bei 2) dann vor?d

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der Antwortgeber von 1.) hat mich ja überzeugt. Danach dürften für den Fall

2.) die Chancen 50:50 stehen

      1 Ziehen : 4 von 8 sind blau also Wahscheinlichkeit 0.5
      2. Ziehen : 7 / 8 * 4 / 7 = 0.5

3.) auch bei jedem Zug 50:50

  mfg Georg

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der Antwortgeber von 1.) hat mich ja überzeugt.
Danach dürften für den Fall 2.) die Chancen 50:50 stehen

Wir gehen mal davon aus, dass der Aufgabensteller den Aufgabenlöser manchmal reinlegen will. Der Aufgabenlöser tut also gut daran, alles genau nachzurechnen...

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und das zurücklegen bewirkt nichts bei 3)?

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Zunächst würde ich zu b) noch sagen, dass Uwes Chance, bereits beim ersten Zug eine Blaue zu ziehen, 50 : 50 beträgt. Bekommt er die Blaue nicht beim ersten Zug, sind seine Chancen auf die erste Blaue im weiteren Verlauf des Spiels aber immer noch positiv. Uwe hat jetzt also, im Gegensatz zu a), in der Variante b) tatsächlich einen Vorteil. Man kann nachrechnen, wie groß der ist.

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und wie groß wäre dieser vorteil, und wie leite ich das her?

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Hallo Anonyme,

  ich beschäftige mich zuerst mit Fall

  3:) Wahrscheinlichkeit beim ersten Ziehen 0.5. Wird die Kugel wieder zurückgelegt ist der
Anfangszustand wiederhergestellt und die Wahrscheinlichkeit beträgt wieder 0.5. Die
Wahrscheinlichkeit beträgt also immer 0.5. Keiner der beiden dürfte einen Vorteil aus dem
" Zuerstziehen " haben.

  2:)

  1.Ziehen : die Wahrscheinlichkeit eine blaue Kugel zu ziehen beträgt 1 von 8 mal 4 = 0.5.
  2. Ziehen : wurde eine blaue Kugel beim ersten Mal gezogen stehen die Chancen wieder eine
blaue Kugel zu ziehen 3 / 7 ( 3 blaue Kugeln von 7 sind noch vorhanden ).  Die Variante hat die Wahrscheinlichkeit 0.5 * 3/7 = 0.214286.
  Die Variante als zweite Kugel eine blaue Kugel zu ziehen falls die erste Kugel eine rote Kugel
gewesen ist beträgt 4 / 7 ( 4 blaue Kugeln von 7  sind noch vorhanden ). Die Variante hat die Wahrscheinlichkeit 0.5 * 4/7 = 0.285714
  Die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer blauen Kugel beim zweiten  Ziehen ist die Summe
beider Varianten, also 0.5. ( Einfacher ist die Rechnung 0.5 * ( 4/7 + 3/7) = 0.5.

  Kurz und knapp. Bei allen drei Aufgabenstellungen ist die Wahrscheinlichkeit für beide 0.5 zuerst
eine blaue Kugel zu ziehen.

  mfg Georg

  ( Hoffentlich stimmt´s )

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Kommentar zum eigenen, vorherigen Kommentar.

Die Lösung für 2.) stimmt nicht. Die Spielregeln sind anders. Siehe Antwort 2.

mfg Georg

Answer 2

Zu 2)
Wenn ich das Spiel richtig verstehe, ist das Spiel beendet, wenn eine blaue Kugel gezogen wurde.
Derjenige, der das Spiel beginnt, gewinnt z.B. dann, wenn er gleich beim ersten Versuch eine blaue Kugel zieht. Die Wahrscheinlichkeit dafür ist  4/8 = 1/2. Er gewinnt ebenfalls, wenn er, wie anschließend sein Spielpartner, zunächst eine rote Kugel und erst beim zweiten Versuch eine blaue Kugel zieht. Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist  (4/8)·(3/7)·(4/6) = 1/7. Die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen ist also für denjenigen der beginnt mindestens  1/2 + 1/7  und damit größer als  0.5. Im Vorteil ist also wer beginnt.

Comments

Ja, das ist soweit richtig, gut! Die Wahrscheinlichkeit, dass Uwe, der beginnt, auch die erste Blaue zieht und damit das Spiel gewinnt, beträgt in Variante 2) insgesamt

(4/8) + (4/8 * 3/7 * 4/6) + (4/8 * 3/7 * 2/6 * 1/5 * 4/4)   =   1/2 + 1/7 +1/70.

Uwe hat also einen knappen Vorteil. Das hängt auch damit zusammen, dass Uwe hier bereits beim ersten Zug eine Gewinnchance von 50:50 hat, im Falle des Nichtgewinnens beim ersten Zug das Spiel aber gleichwohl noch nicht entschieden ist.

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Wahrscheinlichkeit für den Gewinn des

  - zuerst ziehenden 65.7 %
  - den zweiten 34.3 %

  Ein bißchen mehr als ein knapper Vorteil ist es schon.

  mfg Georg

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Ja, das stimmt wohl!