0.5 Liter Getränkedose (Zylinder) soll minimale Oberfläche haben.

Question

Aufgabe:

Eine zylindrische Getränkedose mit vorgegebenem Volumen V = 0.5 l soll aus zwei kreisförmigen Blechen mit Radius r>0 und Fläche πr^2 für Boden und Deckel, sowie einem Mantelbleich der Höhe h>0 hergestellt werden. Bestimmen Sie r,h so, dass der Materialverbrauch minimal ist.

Answer 1

V = pi·r^2·h = 500 cm^3
h = 500/(pi·r^2)

O = 2·pi·r^2 + 2·pi·r·h
O = 2·pi·r^2 + 2·pi·r·(500/(pi·r^2))
O = 2·pi·r^2 + 1000/r

O' = 4·pi·r - 1000/r^2 = 0
4·pi·r^3 - 1000 = 0
r = (1000/(4·pi))^{1/3}
r = 4.301270069

h = 500/(pi·r^2)
h = 500/(pi·4.301270069^2)
h = 8.602540138

Damit muss der Durchmesser der Dose genau so groß sein wie die Höhe.

Comments

Mir ist nicht ganz klar wie du von 2• pi • r • (500/(pi•r^2)) auf 1000/r kommst, könntest du den Schritt eventuell genauer erklären?

---

2·pi·r·(500/(pi·r^2))

= 2·pi·r·500/(pi·r^2)

pi und r kürzen

= 2·500/r

Nun noch 2 * 500 rechnen

= 1000/r