Orthogonalbasis, Orthonormalbasis

Question

ich bin etwas verwirrt. Mir schwirren die beiden Begriffe hier rum und entweder verwechsele ich etwas oder ich hab komplett den Überblick verloren.

Kann mir bitte jemand den Unterschied zwischen Orthonormalbasis und Orthogonalbasis erklären ? Und wie man diese jeweils berechnet.

Als ich letztes Jahr eine Orthonormalbasis berechnen musste, habe ich das mit Gram-Schmidt gemacht. Jetzt soll ich eine Orthogonalbasis berechnen. Hört sich gleich an, aber ist es wohl nicht ?!

Könnte da bitte jemand helfen.

Answer 1

Die Orthogonalbasis ist diejenige deren Vektoren alle im rechten Winkel aufeinander stehen. Zeigen kann man dies, indem das Skalarprodukt aller Basisvektoren v_{i *} v_j, mit i != j immer Null ergibt. Die Vektoren dürfen untereinander also kein anderes Skalarprodukt besitzen, sonst sind diese nicht orthogonal zu einander.

Die Orthonormalbasis ist eine Spezialisierung der Orthogonalbasis. Wir reden also von den gleichen Eigenschaften wie oben beschrieben. Mit dem Zusatz dass in einer Orthonormalbasis die Länge der Vektoren bei einer Abbildung erhalten bleibt. Garantieren können wir den Längenerhalt, indem wir jeden Vektor der Orthogonalbasis durch seine Norm teilen.

Um also z.B. die Orthogonalbasis {v₁, v₂} zu normieren, d.h. sie mit der Eigenschaft zu versehen ihre Länge bei zu behalten, nimmst du v'₁ = v₁ / ||v₁|| und v'₂ = v₂ / ||v₂||.

Die neue normierte Orthogonalbasis = Orthonormalbasis besteht dann genau aus {v'_1, v'₂}.

Comments

Ich habe hier die kanonische Basis des R^4 gegeben und soll eine Orthogonalbasis bestimmen. Aber wenn ich laut deiner Antwort vorgehe, ist meine kanonische Basis doch schon eine Orthogonalbasis, oder?

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Ja genau, sie ist sogar orthonormal, weil jeder Vektor die Länge 1 hat.