Gateway Arch: parabelförmigen Linie, ist 220 Meter Hoch und besitzt eine Spannweite von ebenfalls 200 Metern.

Question

Der gateway arch ist der hauptbestandteil des jefferson expansion memorial in st louis. Er folgt näherungsweise einer parabelförmigen Linie, ist 220 Meter Hoch und besitzt eine Spannweite von ebenfalls 200 Metern.

a) wählen sie ein geeignetes Koordinatensystem und bestimmen sie eine Gleichung der Parabel

b) Für eine Veranstaltung sollen zwei Stahlseile vom Boden aus über Kreuz straff eingespannt werden, dass sie sich in der Mitte des Bogens auf halber höhe treffen. Berechnen sie, in welcher Höhe sie dafür am Bogen besfestigt werden müssen
hat einer eine Idee ???? :$

Answer 1

Der gateway arch ist der hauptbestandteil des jefferson expansion memorial in st louis. Er folgt näherungsweise einer parabelförmigen Linie, ist 220 Meter Hoch und besitzt eine Spannweite von ebenfalls 200 Metern.

a) wählen sie ein geeignetes Koordinatensystem und bestimmen sie eine Gleichung der Parabel

Wir kennen die Punkte S(0, 220) und P(100, 0)

Scheitelpunktform

f(x) = (Py - Sy)/(Px - Sx) * (x - Sx)^2 + Sy
f(x) = -220/100^2 * x^2 + 220

b) Für eine Veranstaltung sollen zwei Stahlseile vom Boden aus über Kreuz straff eingespannt werden, dass sie sich in der Mitte des Bogens auf halber höhe treffen. Berechnen sie, in welcher Höhe sie dafür am Bogen besfestigt werden müssen
hat einer eine Idee ???? :$

Lineare Funktion durch P1(0, 110) und P2(100, 0)

g(x) = -110/100 * x + 110

Schnittpunkt

f(x) = g(x)

-220/100^2 * x^2 + 220 = -110/100 * x + 110
-220/100^2 * x^2 + 110/100 * x + 110 = 0 | Lösen mit abc-Formel

x = -50 und x = 100

g(-50) = -110/100 * (-50) + 110 = 165 m

Die Seile müssen in 165 m Höhe befestigt werden.

Skizze:

Answer 2

a)

Die Form des Bogens lässt sich durch ein Polynom 2. Grades bestimmen, also

f(x) = ax^2 + bx + c

Wir können die höchste Stelle auf der y-Achse ansetzen, und die Punkte, wo sie am Boden beginnt bei x1 = -100 und

x2 = 100. Der Bogen ist also achsensymmetrisch zur y-Achse und hat folgende signifikanten Koordinaten: 

f(-100) = 0

f(0) = 220

f(100) = 0

Eingesetzt in f(x) erhalten wir

f(-100) = 10000a - 100b + c = 0

f(0) = c = 220

f(100) = 10000a + 100b + c = 0

 

a = 0,022

b = 0

 

Die den Bogen beschreibende Funktion lautet also

f(x) = -0,022x^2 + 220

 

Probe: 

f(-100) = -0,022*10000 + 220 = -220 + 220 = 0

f(0) = 0,022*0 + 220 = 220

f(100) = -0,022*10000 + 220 = -220 + 220 = 0

 

b)

Das eine Stahlseil wird befestigt bei (-100|0) und das andere bei (100|0); sie treffen sich bei (0|110). 

Das erste Stahlseil wird beschrieben durch die Gleichung

y1 = m1*x + b1

Das zweite Stahlseil wird beschrieben durch die Gleichung 

y2 = m2*x + b2

 

Für das erste Stahlseil gilt

y1 (-100) = m1*(-100) + b1 = 0

y2 (0) = m1*0 + b1 = 110

Also b1 = 110

m1*(-100) + 110 = 0

m1 = -110/-100 = -1,1

Folglich: 

y1 = -1,1x + 110

Analog für das zweite Stahlseil

y2 = 1,1x + 110

 

Wo kommt Stahlseil 1 mit dem Bogen zusammen? Gleichsetzen: 

-1,1x + 110 = -0,022x^2 + 220

0,022x^2 - 1,1x -110 = 0 | : 0,022

x^2 - 50x - 5000 = 0

x1 = 25 + Wurzel aus (625 + 5000) = 25 + 75 = 100

x2 = 25 - Wurzel aus (625 + 5000) = 25 - 75 = -50

Es kommt nur x1 in Betracht.

x1 eingesetzt in y1:

-1,1*(-50) + 110 = 165

Stahlseil 1 wird am Bogen befestigt an der Stelle (-50|165)

und aus Symmetriegründen:

Stahlseil 2 wird am Bogen befestigt an der Stelle (+50|165)