Primzahlen beweisen mit Hinweisen

Question

11.) Es sei p eine Primzahl. Beweisen Sie:

i) Für jedes k ∈ N mit 1 ≤ k ≤ p − 1 ist p ein Teiler von p k .

ii) Für alle n ≥ 2 und alle a1, ..., an ∈ Z gilt: ( Pn i=1 ai) p ≡ Pn i=1 a p i mod p.

iii) Für alle a ∈ Z gilt: a p ≡ a mod p.

Answer 1

i) Es ist \( \begin{pmatrix}p\\k\end{pmatrix} = \frac{p!}{k!(p-k)!}\). Dabei ist \( p \) Teiler des Zählers, weil \(p\) als Faktor eines Produkts aus natürlichen Zahlen im Zähler vorkommt. Wegen \( 0 < k < p \) taucht \(p\) im Nenner nicht auf. Weil \(p\) Primzahl ist, ist \(p\) deshalb auch Teiler des Bruchs. Ich hoffe ihr habt schon bewiesen, dass \( \begin{pmatrix}p\\k\end{pmatrix} \) eine natürliche Zahl ist.

Answer 2

ii) gemäß Hinweis

( ∑i=1 bis 2 ai )^p = (a1 + a2 ) ^p   bin. Satz:

= a1^p + (p über 1)a1^n-1*a2 + .....  + (p über p-1) *a1a2^n-1 + a2^n

≡ a1^p + a2^n    mod p

weil die binomialkoeffizienten gemäß i alle durch p teilbar sind.

Dann Induktion über n.