Vektorraum der Polynome linear

Question

ich bräuchte hilfe bei der Aufgabe:

Sei V der Vektorraum der Polynome über R vom Grad ≤ 2. Sei f: V -> R² definiert durch

f (∑ i=0 bis 2 a_iTⁱ) = ( a^_2, a₀).

1) Beweisen Sie dass f linear ist.

2) Bestimmen sie eine Basis von Kern(f) und von Bild(f)

3) Wählen sie Basen B von V und C con R² und berechnen Sie _cM_B(f)

Habe versucht 1) zu machen, aber komme nicht weiter:

p= a₀ + a₁T + a₂T² und q = b₀ +b₁T + b₂T²

f (p + q) = a₀ + a₁T + a₂T² + b₀ +b₁T + b₂T²

=( a₀ +  b₀                                a₀ +  b0 + a₁ + b₁

      a₁ + b₁ + a₂ + b₂               a₀ +  b0   )

= ( a₀                     a₀ + a_{1                               +}                      ( b₀                          b0 +  b₁

         a₁ + a₂              a₀  )                                                            b₁ + b₂                b0   )

= f (∑ i=0 bis 2 a_iTⁱ) + f (∑ i=0 bis 2 b_iTⁱ )

......

Ich muss ja zum Schluss auf

f (∑ i=0 bis 2 a_iTⁱ) =  ( a^_2, a₀) ⇒ Wie komme ich drauf?

Answer 1

p= a₀ + a₁T + a₂T² und q = b₀ +b₁T + b₂T²

f (p + q) = f( a₀ + a₁T + a₂T² + b₀ +b₁T + b₂T² )

= f ( ( a₀ +  b₀     + ( a1+b1) T + (a2+ b2)T² )                

Die Anwendung von f wählt ja den ersten und den letzten Koeffizienten aus:

₌            a₀ +  b0 + a₂ + b₂

 =     a₀ + a₂ + b0  + b₂

₌ f (p) +f( q)

Comments

Hallo mathef,

danke dir, aber ist das eine Regel: "
Die Anwendung von f wählt ja den ersten und den letzten Koeffizienten aus" ?

ist das denn mit der matrix schreibweise auch so?

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nein, das ist durch die Definition der Abb. hier so festgelöegt

f (∑ i=0 bis 2 a_iTⁱ) = f ( a₀ + a₁T + a₂T² =  ( a^_2, a₀).

Das heißt in Worten:

Das f-Bild eines Polynoms a₀ + a₁T + a₂T²  ist das

Paar   ( a_^2, a₀).

Oh ich sehe gerade in der Antwort ist es nicht ganz richtig, muss wohl so heißen:

= f ( ( a₀ +  b₀     + ( a1+b1) T + (a2+ b2)T² )                

Die Anwendung von f wählt ja den ersten und den letzten Koeffizienten aus:

₌     (  a₂ + b_{2     ,}     a₀  +  b0  )   also erst mal das Paar.

und das iost die Summe der Paare

 = (  a2 ,  a₀ ) +     (   b₂ , b0  )

₌ f (p) +f( q)

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Achso ok.

und zu 2)

Ist die Basis von V (1,T, T²)?

Wo muss ich die Werte einsetzen für Bild (f)?

zu 3) was ist mit C gemeint, ist das was ich q genannt habe?