Beweisen, dass Polynome linear unabhängig sind

Question

ich soll den unendlich-dimensionalen Vektorraum V der reellen Polynom betrachten und zeigen, dass 3 Polynom linear unabhängig oder linear abhängig sind. Konkretes Beispiel:

p1(x)=x^4+3x^2+x+2

p2(x)=2x^4+2x^3+2x+1

p3(x)=3x^4+4x+3

Meine Idee wäre es folgendermaßen vorzugehen:

a*(1,0,3,1,2) b* (2,2,0,2,1)+c*(3,0,0,4,3)=0

Hieraus ergibt sich, dass a=b=c=0 ist und nach Definition sind Vektoren linear unabhängig, wenn sich der Nullvektor nur durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt, in der alle Koeffizienten der Kombination auf den Wert null gesetzt werden.

Kann ich das so lassen? Ergänzungen?

Answer 1

Meine Idee wäre es folgendermaßen vorzugehen:

a*(1,0,3,1,2) b* (2,2,0,2,1)+c*(3,0,0,4,3)=0

kleiner Fehler, muss heißen

a*(1,0,3,1,2)  + b* (2,2,0,2,1)+c*(3,0,0,4,3)=0

Das ist aber dann isomorph auf IR^5 abgebildet, genau müsste es eigentlich sein

Meine Idee wäre es folgendermaßen vorzugehen:

a*(1x^4 +0*x^3+3x^2 + 1*x + 2 ) +  b* (..........) +c*(....)=0

Das zu einem Polynom zusammenfassen

( a+2b+3c)*x^4 +  2b*x^3 + ...

und dann Koeffizientenvergleich mit dem Nullpolynom.

Comments

was genau impliziert Koeffizientenvergleich mit dem Nullpolynom?

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Dass alle Koeffizienten 0 sind, also

a+2b+3c

2b = 0   etc.

Daraus ergibt sich dann a=b=c=0

und das braucht man ja.

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Wie sieht der Vergleich denn aus ?

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Die Gleichungen

a+2b+3c=0

2b = 0

etc. entstehen durch diesen "Vergleich".

Alle Koeffizienten sind gleich 0