Partielle Ableitungen von f(x,y):= xy(x^2 - y^2)/(x^2 + y^2), (x,y)≠0, f(0,0):=0. Beweis von b)?

Question

Hallo :)

wie zeigt man die 2c ?

EDIT: 2b) ?

Die Funktion \(f:{ℝ}^{2}→ℝ\) sei gegeben durch
$$ f(x,y)\begin{cases} xy\frac { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }, \qquad (x,y)\neq(0,0), \\ 0,\qquad \qquad (x,y)=(0,0). \end{cases} $$

1) Bestimmen Sie $$ \frac { \partial f }{ \partial x } (0,y) \quad  und \quad  \frac { \partial f }{ \partial y } (x,0)  $$ für alle  \(x,y\inℝ \).


2) Zeigen Sie, dass \(f\) eine Klasse von \({C}^{1}\) ist.


3) Zeigen Sie: $$ \frac { { \partial  }^{ 2 }f }{ \partial x\partial y } (0,0)\neq \frac { { \partial  }^{ 2 }f }{ \partial y\partial x } (0,0). $$

 

Comments

Beide Seiten ausrechnen und feststellen, dass nicht das selbe rauskommt.

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sorry ich meinte 2b :)

und bei der 2a) was heißt (0,y) ? Könnte jemand bitte den rechenweg sagen? also nicht die lösung sondern nur den rechenweg

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\(\frac{\partial f}{\partial x}(0,y)\) ist die partielle Ableitung von \(f\) nach \(x\) an der Stelle \((0,y)\). "\(f\) ist von der Klasse \(\mathcal C^1\)" bedeutet: \(f\) ist (einmal) stetig partiell differenzierbar.

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danke ! :)

wie würde die b gehen ?

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Gast: Steht das mit Klasse C^1 nicht im Kommentar oberhalb von deinem Kommentar?

Ich habe ausserdem den Eindruck, diese Funktion sei in den letzten paar Tagen schon Thema einer Frage gewesen. Suche vielleicht mal in den vorhandenen Fragen.

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erstmal zu a) nachdem ich die Funktion abgeleitet habe, kommt dann was ?

mir ist (0,y) nicht ganz klar

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das kann nicht sein :) die aufgabe ist erst seit gestern erschienen .

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a) ist gelöst.

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Vom Duplikat:

Titel: Die Funktion f: R^2 ->R sei gegeben durch f(x,y):= xy(x^2-y^2)/(x^2 + y^2) für x≠(0,0),...

Stichworte: funktion,analysis,klasse

Die Funktion \(f:{ℝ}^{2}→ℝ\) sei gegeben durch
$$ f(x,y)\begin{cases} xy\frac { { x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 } }{ { x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 } }, \qquad (x,y)\neq(0,0), \\ 0,\qquad \qquad (x,y)=(0,0). \end{cases} $$

1) Bestimmen Sie $$ \frac { \partial f }{ \partial x } (0,y) \quad  und \quad  \frac { \partial f }{ \partial y } (x,0)  $$ für alle  \(x,y\inℝ \).


2) Zeigen Sie, dass \(f\) eine Klasse von \({C}^{1}\) ist.


3) Zeigen Sie: $$ \frac { { \partial  }^{ 2 }f }{ \partial x\partial y } (0,0)\neq \frac { { \partial  }^{ 2 }f }{ \partial y\partial x } (0,0). $$

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Also als kleinen Tipp hab ich, dass man für (x, y) ≠ (0, 0) die partiellen Ableitungen ja ganz einfach ausrechnen kann. Fuer 1) ist dann nur noch der Fall (x, y) = (0, 0) zu untersuchen.

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EDIT: Eigentlich schade für deine schöne Eingabe, dass die Frage gestern schon eingestellt wurde. Ich nehme mal deine Eingabe noch rüber.

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Vielen Dank, so habe ich mir wenigstens nicht umsonst Mühe gegeben ;).

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muss man die a) mit der richtungsableitung lösen? Mir ist irgendwie noch nicht ganz klar wie man mit dem (0,y) umgehen muss

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kann jemand vielleivht zeigen wie das für 0,y geht

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Kommen bei der a zwei verschiedene Ergebnisse raus?

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In a) zeigt man ja schon dass die Funktion partiell diffbar ist, muss man dann in der b) nur noch die Stetigkeit zeigen?

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zu a) vgl. hier: https://www.mathelounge.de/347397/partielles-ableiten-an-einer-bestimmten-stelle-xy-2-fur-x-0-0

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Wie genau funktioniert das nun bei der 2a) ?
Ich rechne die partiellen Ableitungen aus (hab ich schon) und dann setze ich die Funktionswerte (0,y) bzw, (x,0) ein?
EDIT: und bei der 2b) dann nur noch die Stetigkeit zeigen, welche ja zunächst nur an der Stelle (0,0) anzuzweifeln ist?

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" f ist (einmal) stetig partiell differenzierbar. " Heisst, dass du die partiellen Ableitungen auf Stetigkeit prüfen musst. (Auch in (0,0), aber eigentlich überall). 

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Bei der c leite ich doch erstmal meine Ergebnise aus a nochmal partiell ab, nur eben nach der anderen Variablen. Allerdings ist die Funktion bei (0,0) ja 0. Wenn ich das Ableite bleibt es immer 0. Wo soll (0,0) genau eingesetzt werden?