f(x1,x2) = ((x1,x2)/(1+x1+x2)).zeige dass f injektiv ist und und f^{-1} berechnen

Question

Hallo

ich brauche eure hilfe. habe in 3 wochen meine klausur und bin am lernen, aber hänge seit tagen vielleicht an einer sehr leichten aufgabe. habe wirklich schon alles probiert komme kein bisschen weiter. ich bin auf eure hilfe angewiesen !! :(

also meine funktion ist gegeben f(x₁,x₂)=((x₁,x₂)/(1+x₁+x₂)) und für x₁+x₂ =/ -1.

Jetzt muss ich det f ' (x₁,x₂)= (1/(1+x₁+x₂))^3 sein und das muss ich zeigen.

und ich soll auch weiter zeigen, dass f injektiv ist und f^-1 berechnen.

Also ich habe gleich bei der determinantenberechnung schon probleme d.h. mich iritiert einfach diesen (x₁,x₂) in meiner funktion wie kann man da bitteschön die determinante rechnen wenn man komma in einer funktion stehen hat?

bitte bitte brauche unbedingt hilfe !!!!

gruß

Comments

Bitte die Originalaufgabe (z.B. mit Definitionsmenge und Zielbereich der Funktion f, also am besten wörtlich :-)) mitteilen!

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also bei mir steht eigentlich nur das hier ich schreibs so hin wie es auch in der klausur steht.

Es sei f(x₁,x₂):= ((x₁,x₂)/(1+x₁+x₂)) für x₁+x₂ ≠  -1. Zeigen Sie,dass det f ' (x₁,x₂)= (1/(1+x₁+x₂))³. Zeigen Sie weiter, dass f injektiv ist und berechnen Sie f ^-1 .

So stehts in der klausur und mehr nicht :(

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Ich sehe einen vektorwertigen Zähler, stimmt das so?

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genau :)

und grad das iritiert mich ich weiß nicht wie ich da vorangehen soll :S

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Na gut, ich schlage vor, Indizes zu sparen mit
der Festlegung x := x_1 und y := x_2. Dann haben wir

f(x, y) := ((x, y) / (1 + x + y)) = ( x / (1 + x + y), y / (1 + x + y) ).

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Jetzt musst Du die Jacobi-Matrix ausrechnen und dann deren Determinante, die auch Funktionaldeterminante oder eben Jacobi-Determinante genannt wird.

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asooooooooooooooooooo ok wenn ich jetzt meine jakobideterminante habe ist das so :

J = (      (1+y)/(1+x+y)^2                         -y/(1+x+y)^2

              -x/(1+x+y)^2                              (1+x)/(1+x+y)^2   )

stimmt das soweit ?

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Ja gut. Allerdings ist das erst die Jacobi-Matrix, die Determinante musst Du noch bestimmen. Von der Jacobi-Matrix lässt sich auf die Invertierbarkeit von f schließen. Das könntest Du dann gleich mit erledigen, denn das ist ja vermutlich der Sinn solcher Übungen.

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so die derterminante habe ich auch berechnet und komme auf 1/ (1+x+y) . mein ergebnis sieht nett aus und hoff mal dass es stimmt soweit :)

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Nun, ich darf mitteilen, dass ich das auch raus hatte. Denn ich
hatte mich verrechnet. Dieses unser Ergebnis ist also falsch!

(Das Ergebnis allein ist natürlich sinnlos, es steht ja schon in der Aufgabe.)

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aber dann stimmt meine determinante nicht oder? weil wenn ich mit der determinante berechne kriege ich das raus :'(

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Vor dem Kürzen müsstest Du einen Nenner der Form (...)^4 erhalten haben.

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Ajaa ich hab das jetzt auch raus :)

ich habe mein nenner wie bei der addition berechnet also (...)² gelassen ich sollte auch mein nenner multiplizieren :)

vielen lieben dank für deine hilfe :)

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Gut, jetzt musst Du noch (auch wenn die Aufgabe dies nun nicht ausdrücklich erfordert), die entsprechenden Schlüsse aus der Beschaffenheit der Determinante ziehen.

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und was heißt das?

meinst du die injektivität

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Ich meine den Satz von der Umkehrabbildung, weswegen doch die Jacobi-Derteminante in solchen Zusammenhängen betrachtt wird. Die Jacobi-Determinante ist offenbar ungleich Null und die Funktion f somit lokal umkehrbar.

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also kann ich die inverse von meiner matrix berechnen oder

Answer 1

Danke für die Korrekturhinweise unten. Hier eine (hoffentlich) bessere Version:

Anonym hat oben die Schreibweise wohl geklärt. Ich nehme an, dass du die Determinante nun berechnen konntest.

Ich rechne dir mal f^{-1} aus. Da das klappt, meine ich bewiesen zu haben, dass f umkehrbar und daher injektiv ist.

Bitte korrigieren, wenn da was nicht ok ist.

(u,v) = f(x, y) := (x, y) / (1 + x + y)            |*(1+x+y)
(u,v)*(1+x+y) = (x,y)  

1.   u(1+x+y) = x
2.   v(1+x+y) = y                

Das müsste ich jetzt nach x und y auflösen können, wenn meine Argumentation klappen soll.

u/v = x/y
x = uy/v

 u(1+uy/v+y) = uy/v
u + u^2 /v *y + uy = u/v*y

u = y( u/ v - u^2 /v - vu/v) = y/v * (u - u^2 -vu)
uv / (u-u^2 -vu) = y

v/ (1-u-v) = y

Aus Symmetriegründen

u/(1-u-v) =x

f^{-1} (u,v) = (u,v) / (1-u-v)

Umschreiben auf x,y, wie man das für Umkehrfunktionen sonst kennt.
f^{-1} (x,y) = (x,y) / (1-x-y)

Wir hatten oben für f vorausgesetzt, dass x+y≠ -1. Nun müssen wie voraussetzen, dass u+v≠1. (Sollte sich ergeben, wenn man alle Sonderfälle berücksichtigt)

Comments

super ich danke euch beiden sehr echt ich weiß jetzt was ich zu tun habe und weiß wenn ich so eine frage gestellt bekomme wie ich da vorangehen soll :)

vielen lieben dank euch beiden

ich werde das jetzt alles was ich von euch bekommen habe mal richtig studieren  :)

gruß

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Ich glaube nicht, dass man die Inverse so berechnen kann. Es müsste gelten f(f^-1(x,y)) = (x,y), was offenbar nicht der Fall ist. Z.B. ist  f(f^-1(1,1)) = f(3,3) = (3/7,3/7) ≠ (1,1).

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em ich weiß nicht aber kann man den satz der inversen funktionen irgendwie verwenden ?

bin mir grad echt sehr unsicher

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ich hätte noch eine frage woher weiß ich denn jetzt dass mein f ^-1  injektiv ist?

also alle umkehrbaren funktionen sind injektiv habe ich das richtig verstanden ?

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ich verstehe leider immernoch nicht wie man die inverse bestimmt . sorry wirklich ich glaube das wird langsam zu viel mit meinen fragen aber stimmt das jetzt eigentlich nicht wie es lu gemacht hat ?

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Hallo Lu, in Deiner dritten Zeile fehlt eine schließende Klammer. Wenn
Du die dahin setzt, wo sie hingehört, wird deutlich, wo das Problem liegt.

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Hallo Lu, diese Umkehrfunktion habe ich mit ähnlicher Rechnung auch, sie sollte also stimmen, zur Probe kann man f°f^{-1} nachrechnen. Man kann noch erwähnen, dass Deine Rechnung und damit die Umkehrung nicht nur in einer lokalen Umgebung gilt, sondern für den ganzen Definitionsbereich von f.

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ich hätte noch eine frage woher weiß ich denn jetzt dass mein f ^-1  injektiv ist?

also alle umkehrbaren funktionen sind injektiv habe ich das richtig verstanden ?

Wenn man für jedes Bild nur genau ein Urbild findet, ist die Funktion injektiv.
Folgerung aus meiner korrigierten Rechnung ist: f ist injektiv. über die Injektivität von f^{-1} ist da nichts gesagt.

Allerdings habe ich in der Rechnung ab und zu dividiert. Du musst da streng genommen noch Fallunterscheidungen anfügen. 
Speziell die Fälle v=0 und  y=0 noch separate durchrechnen.

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Hallo Lu, diese Umkehrfunktion habe ich mit ähnlicher Rechnung auch, sie sollte also stimmen, zur Probe kann man f°f^-1 nachrechnen. Man kann noch erwähnen, dass Deine Rechnung und damit die Umkehrung
nicht nur in einer lokalen Umgebung gilt, sondern für den ganzen Definitionsbereich von f.

Danke für die Rückmeldung. Allerdings hat sich durch eine Korrektur inzwischen mein Resultat verändert. Ich werde mal versuchen f(f^{-1} nachzurechnen:

f(x/(1-x-y) , y/(1-x-y)) =
(x/(1-x-y) / (1 + x/(1-x-y) + y/(1-x-y)) ,  y/(1-x-y) / (1 + x/(1-x-y) + y/(1-x-y)) )=

( x/ (1-x-y+x+y) , y/ (1-x-y+x+y)) = (x,y)

qed.

Wie erwähnt oben noch die Spezialfälle mit den Nullen ergänzen.

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auch dir lieben dank lu ich werde jetzt mal versuchen alle schritte zu verinnerlichen das war jetzt echt eine menge arbeit also für mich :)

ich glaube ich meld mich dann nochmal falls ich einfach nicht weiterkomme :)