Weisen Sie nach, dass für idempotente Matrizen nur die Eigenwerte 0 oder 1 auftreten können

Question

Eine Matrix A heisst idempotent, falls A² = A ist. Weisen Sie nach, dass für idempotente Matrizen nur die Eigenwerte 0 oder 1 auftreten können. Bestätigen Sie dieses Result an Hand vo

1	0	0
0	3	6
0	-1	-2

d.h., berechnen Sie A² und bestimmen Sie die Eigenwerte von A. Warum müssen wir die Eigenwerte von A² nicht berechnen, sondern kennen diese bereits?

Comments

Sei \(\lambda\) ein Eigenwert von \(A\). Es existiert ein Vektor \(x\ne0\) mit \(Ax=\lambda x\).
Es folgt \(\lambda x=Ax=A^2x=A\cdot Ax=A\cdot\lambda x=\lambda\cdot Ax=\lambda\cdot\lambda x=\lambda^2 x\).
Es ist also \(\lambda x=\lambda^2x\), oder \(\lambda\cdot(1-\lambda)x=0\). Daraus folgt die Behauptung, denn \(x\ne0\).

Answer 1

Hi,

sei λ ein Eigenwert von A zum EIgenvektor x_e. Dann gilt A*x_e=λ *x_e

Für A^2 gilt nun A^2*x_e=A*(A*x_e)=A*(λ *x_e)=λ *(A*x_e)=λ^2*x_e 

Somit ist λ^2 ein Eigenwert von A^2 zu x_e.

Da A indempotent ist, gilt A^2=A 

---> λ^2=λ ---> λ₁=0 ; λ₂=1

Das kannst du ja an dem Beispiel nun rechnerisch nachprüfen.