Dichte, Verteilungsfunktion mit Zufallsvektor

Question

Könnte mir bitte jemand helfen?

Angenommen (X, Y ) hat die Dichte
f(x, y)        x + y     falls 0 ≤ x ≤ y ≤ c
                       0    sonst.

(a) Bestimmen Sie c.
(b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von (X, Y )0.
(c) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion und die Dichte von X.

Dankesehr!

Comments

Hi,

bin mir nicht ganz sicher und möchte das zur nDisskusion stellen.

zu (a)
Es mus gelten $$ \int_0^c\ \int_0^y\ (x+y)\ dx\ dy = 1  $$ damit \( f(x,y) = x+y \) eine Dichte auf dem Gebiet \( 0 \le x \le y \le c \) ist. Es gilt $$ \int_0^c\ \int_0^y\ (x+y)\ dx\ dy = \frac{c^3}{2} $$ also folgt $$ c = \sqrt[3]{2}  $$

zu (c)
Für die Randdichte \( f_X(x) \) gilt $$ f_X(x) = \int_x^c (x+y)\ dy = \frac{(c-x)(c+3x)}{2} =  \frac{(\sqrt[3]{2}-x)(\sqrt[3]{2}+3x)}{2} $$ Die Verteilung für \( X \) berechnet sich aus $$ F_X(x) = \int_0^x f_X(u)\ du = \frac{x \cdot (x^2 - \sqrt[3]{2} \cdot x - \sqrt[3]{4} )}{2}  $$