X und Y seien Mengen und f: X -> Y eine Funktion. Beh: f hat eine Linksinverse ⇔ f ist injektiv

Question

Also laut Definition weiß ich schon mal folgendes:

X und Y seien Mengen und f: X -> Y eine Funtkion.

- Eine Funktion g: Y -> X heißt Linksinverse von f, wenn g ° f = id_x

- Eine Funktion h: Y -> X heißt Rechtinverse von f, wenn f ° h = id_y

- Eine Funktion g: Y -> X heißt Inverses (Umkehrfunktion) von f, wenn g ° f = id_x und f °g = id_y.

 

Bemerkung: Seien X, Y Mengen und f: X -> eine Funktion, dann gilt:

- f hat eine Linksinverse ⇔ f ist injektiv

- f hat eine Rechtsinverse ⇔ f ist surjektiv

- f hat eine Inverse ⇔ f ist bijektiv.

 

BEWEISE diese Bemerkung.

Answer 1

Die Bemerkung sollte wohl "... f: X → Y ..." lauten.

Nun zu erst, die erste Aussage:

   Hat eine Linksinverse bedeutet:  Es gibt g: Y → X mit: g ° f = id_x
Ist injektiv, bedeutet: Seien x,y ∈ X. Dann gilt: f(x) = f(y) ⇒ x = y.

Wir wollen zeigen, dass diese beiden Aussagen äquivalent sind.

Aus g ° f = id_x folgt ja, dass g(f(x)) = x ist (eher ist dies äquivalent...).
Wenn wir das in f(x) = f(y) ⇒ x = y einsetzen, haben wir:

    f(x) = f(y) ⇒

    g(f(x)) = g(f(y)) ⇔

    x = y ⇒ f ist injektiv.

Und aus der Injektivität folgt natürlich auch die Existenz des Linksinversen, dir ist doch klar weshalb?

Beweise die anderen Aussagen analog.


gruß...

Comments

Ich hoffe, du liest das noch...