Welche Fixpunkte sind anziehend oder abstoßend?

Question

(1)

 ~plot~ x^3-3x^2+1;3-1/x^2 ~plot~

(2)

~plot~ x^3-3x^2+1;(x^3+1)/(3x) ~plot~

(3)

~plot~ x^3-3x^2+1;x^3-3x^2+x+1 ~plot~

(4)

~plot~ x^3-3x^2+1;sqrt(1/(3-x));-sqrt(1/(3-x)) ~plot~

Ich soll vermuten, welche Fixpunkte anziehend und welche abstoßend sind. Dazu habe ich die Graphen gepottet.
(später soll ich meine Vermutung mit einer Iteration (mit einem Programm) überprüfen. Ist das Newton-Vefahren geeignet oder Bisektion?)

Answer 1

Eine Möglichkeit zum Lösen von Gleichungen , ist das Erstellen einer selbstkonvergierenden Iterationsgleichung:

x³=3x²-1 | /x²

x=3-1/x²  -> siehe Dein Bild 1

Die Konvergenz (besser als das Wort "anziehend") ist dann besonders gut, wenn die rechte Seite der Gleichung beim Schneiden der linken Seite ( f(x)=x ) eine kleinen Anstieg (f ' (x) gegen 0 ) hat, was im Bild oben rechts der Fall ist:

Der Iterationsrechner zeigt das online:

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm#3-1/(x*x)@Na=-0.5;@Nb=a;a=Fx(a);@Bi]=a;@N@Aa-b)%3C%204e-13@N0@N0@N#

Bisektion (Iterationsrechner Beispiel 2)  geht immer, hat aber 2 Nachteile:

- relativ langsame Konvergenzgeschwindigkeit: etwa 2 Schritte pro Nachkommastelle

- man muss die Stellen mit Nulldurchgang bereits bereits kennen und Min & Max des Suchbereiches Vorgeben

Newton: Iterationsrechner Beispiel 118:

- braucht für 14 richtige Nachkommastellen nur 4 Schritte:

Was viele nicht wissen: es gibt auch für kubische Gleichungen {neben den Cardanischen Formeln (noch mit acos und Fallunterscheidung) } exakte explizite Lösungsformeln analog zur pq-Formel:

http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php

x3=1+1/(1/2 (1+i sqrt(3)))^{1/3}+(1/2 (1+i sqrt(3)))^{1/3} = 1+2 * cos(Pi / 9)

Comments

Hinweis zum Testen, ob die Gleichung konvergiert:

Abbruchbedingung: i>33

sonst besteht bei Divergenz die Gefahr der Endlosschleife!

---

 Dankeee!!!

Ich denke, ich habs verstanden :)
wir haben anziehend und abstoßend so definiert:

| f´(x_f) < 1|  ⇒ x_f anziehend
| f´(x_f) > 1|  ⇒ x_f abstoßend

wobei x_f  der Fixpunkt ist.

Da bei dem Punkt oben die Ableitung gegen 0 geht (kleiner Anstieg), ist der Fixpunkt anziehend.
Kann man also statt anziehend/abstoßend die Begriffe Konergenz/Divergenz verwenden?

der Startwert ist auch entscheidend, oder? also mit welchem Wert ich das Verfahren beginne?

Warum soll das Verfahren bei 33-Schritten aufhören? Dürfte ich auch eine andere Zahl statt 33 benutzen?

---

Ja, "anziehend" bedeutet die Iteration (Ergebniswert in Argument der Iterationsfunktion neu einsetzen) konvergiert gegen einen Grenzwert.

Wenn Du beim 1. LINK statt der Formel 3-1/(x*x)

die andere, also (pow(x,3)+1)/(3*x)

verwendest, und dabei einen ungünstigen Startwert wie

a=-9; oder a=26.962962962962962;

probierst, würde abs(a-b)< 4e-13 nie erfüllt sein!

Natürlich könnte der Rechner auch bis i>100000 rechnen, aber

spätestens nach 33 Schritten erkennt man, ob konvergiert oder divergiert .

Guter Startwert für Konvergenz ist a=0.6;