Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Funktion

Question

ich habe Probleme bei einer Aufgabe:
Untersuchen Sie die Funktion f : R → R mit f(x) =|x| * ln|x| (für x ungleich 0) und f(x) = 0 (für x = 0) auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit in R.
Stetigkeit muss man ja mit dem Epsilon-Delta-Kriterium beweisen, aber das Problem ist, dass (f(x)-f(xo)) für x ungleich 0 nicht zu berechnen ist, da es ln|0| nicht gibt. Wie soll ich das dann abschätzen?Und bei der Differenzierbarkeit weiß ich nicht, wie ich genau vorgehen soll.Kann mir bitte jemand weiterhelfen?

Grüße

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Bekanntlich ist eine Funktion \(f\) stetig an einer Stelle \(x_0\), wenn der Grenzwert \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\) existiert und \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\) ist. Nach l'Hospital gilt$$\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}\vert x\vert\cdot\ln\vert x\vert=\lim_{x\to0}\frac{\ln\vert x\vert}{\frac1{\vert x\vert}}=\lim_{x\to0}\frac{\frac1x}{-\frac1{x\cdot\vert x\vert}}=\lim_{x\to0}(-\vert x\vert)=0=f(0).$$Die Funktion ist also an der Stelle \(0\) stetig. Zeige mithilfe des Differenzenquotienten, dass die Funktion an dieser Stelle nicht differenzierbar ist.

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Danke für deine Antwort! Aber wie genau soll ich das dann machen? Weil wenn ich mich von rechts und von links annähere, so ist es immer dieselbe Funktion, nämlich ln|x|*|x|, also wird wahrscheinlich auch derselbe Grenzwert herauskommen. Und ein weiteres Problem ist, dass die Funktion auch bei x = 1 nicht differenzierbar ist. Muss ich das auch irgendwie erwähnen?

Answer 1

Stetigkeit muss man ja mit dem Epsilon-Delta-Kriterium beweisen, aber das Problem ist, dass (f(x)-f(xo)) für x ungleich 0 nicht zu berechnen ist, da es ln|0| nicht gibt.

Aber bei x=0 ist ja der Funktionswert extra definiert, mit f(0) = 0.

Für x≠0 ist ja eh alles klar.  Quotient steiger Funktionen.

Für x=0 betrachte f(x) - f(0) =  f(x) .

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Danke für deine Antwort, aber ich hätte zwei Fragen: 1. Was meinst du mit Quotient steigender Funktionen? Kann man das formal einfach so aufschreiben und damit die Stetigkeit für x ungleich 0 zeigen?

2. "Für x=0 betrachte f(x)-f(0)", also 0-0 oder |x| * ln|x|-0?

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Tippfehler: Quotient stetiger Funktionen  meinte ich.

Also Anwendung des Satzes: wenn f stetig bei a und g stetig bei a und g(a) ≠ 0

dann auch f/g  stetig bei a.

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Und inwiefern ist |x| * ln|x| ein Quotient?

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Pardon, aber der Satz gilt ja auch für Produkte.