Wie kann ich diesen Term faktorisieren: s^6 - s^4 + 3s^2 - 3?

Question

Gegeben ist: (s⁶ -  s⁴ - 3s² - 3)

Die Lösung sagt: (s² - 1) (s⁴ + 3)

Meine Frage ist nun, wie macht man so was? Woher sehe ich, wie ich den gegebenen Term umformen muss?

Answer 1

Wichtig ist schon die Funktion richtig abzuschreiben. Die Lösung passt nur zu

s^6 - s^4 + 3s^2 - 3

Hier steht ein Plus statt einem Minus

Per Wertetabelle würde ich da jetzt nach ganzzahligen Nullstellen suchen

Ich finde zumindest eine Nullstelle bei +1 und eine bei -1

Daher mache ich eine Polynomdivision durch beide Nullstellen

(s + 1)(s - 1) = s^2 -1

(s^6 - s^4 + 3s^2 - 3) : (s^2 -1) = s^4 + 3

Daher ist eine Faktorzerlegung hier

(s^6 - s^4 + 3s^2 - 3) = (s + 1)(s - 1)(s^4 + 3)

Damit sind wir fertig.

Answer 2

Wenn du keine Vorkenntnisse zur Polynomdivision hast, kannst du dir eigentlich nur überlegen, wie eine doppelte Anwendung des Distributivgesetzes rückgängig gemacht werden könnte.

(s⁶ -  s⁴ - 3s² - 3) = s⁴ ( s²-1)     - 3 (s² + 1) scheitert allerdings, weil in den Klammern nicht dieselben Terme stehen. So können die beiden Terme nicht ausgeklammert werden.

 

Wie andere schon bemerkt haben, stimmt die Lösung nur für eine andere Aufgabe, nämlich

s⁶ - s⁴ + 3s² - 3 =                     |hier kann man dann auch tatsächlich 2 mal ausklammern. 1.Mal:

s⁴ (s² -1) + 3 (s² -1)   =              | 2. Mal: Klammer ausklammern

(s⁴ + 3) * (s² -1)  =                       | Hier erkennt man noch eine 3. binomische Formel

(s⁴ + 3) *(s+1)*(s-1)

Weiter faktorisieren kann man hier nicht, da s⁴ + 3 keine reelle Nullstelle hat.

 

Überprüfung der angegebenen Lösung zur Korrektur der Aufgabe:

Wahrscheinlich multiplizierst du die vorgegebene Lösung in einem Schritt aus. Aber man kann 2 Schritte draus machen. Das nützt, wenn's 'von hinten her' gemacht werden soll.

(s² - 1) (s⁴ + 3) = (s² - 1) s⁴ + (s² -1)*3 = s⁶ - s⁴ + 3s² - 3

 

 

 

Comments

https://www.wolframalpha.com/input/?i=s%5E6+-+s%5E4+-+3s%5E2+-+3

zeigt, dass man keine einfache Faktorisierung finden kann für die Aufgabe, die falsch gestellt war.

Answer 3

Sicher, dass du nicht (s⁶ -  s⁴ + 3s² - 3) meinst?

Sonst ist deine angegebene Lösung nämlich falsch.

 

Man geht dabei folgendermaßen vor:
Jedes Polynom (also eine Summe von Potenzen einer Variablen) kann man in ein Produkt aus seinen Linearfaktoren und sogenannten irreduziblen Termen faktorisieren.

Als Linearfaktor bezeichnet man einen Term der Form

x-x₀

wobei x₀ eine Nullstelle des Polynoms ist.

Wenn du also eine Nullstelle deines Polynoms p(x) kennst, kannst du es in eine Form

p(x) = (x-x₀)*q(x)

bringen, wobei q(x) ein Polynom ist, dessen höchste Potenz um eins niedriger ist, also ein einfacheres Polynom.

Bei hochgradigen Polynomen (in deinem Fall ist der Grad 6) muss man Nullstellen raten - ein anderes Verfahren gibt es eigentlich nicht.

Setzt du zum Beispiel testweise einfach mal s=1 ein, so erhältst du:

1⁶ - 1⁴ + 3*1²-3 = 1-1+3-3 = 0

Also ist 1 eine Nullstelle des Polynoms.

Man kann es also schreiben als:

(s⁶ -  s⁴ - 3s² - 3) = (s-1) *q(s)
Wobei q(s) ein Polynom fünften Grades ist, also die Form

q(s) = as⁵ + bs⁴ + cs³ + ds² + es + f

ist.

Setzt man diesen Ansatz ein und multipliziert aus, so erhält man:

(s-1) * (as⁵ + bs⁴ + cs³ + ds² + es + f) = as⁶ + bs⁵ + cs⁴ + ds³ + es² + fs - as⁵ - bs⁴ - cs³ - ds² - es - f

= as⁶ + (b-a)s⁵ + (c-b)s⁴ + (d-c)s³ + (e-d)s² + (f-e)s - f

 

Nun soll dieses Produkt aber identisch mit dem Ausgangspolynom sein, insbesondere müssen also die Faktoren vor den Potenzen übereinstimmen! Es muss also gelten:

(x⁶): 1 = a

(x⁵): 0 = b-a

(x⁴): -1 = c-b

(x³): 0 = d-c

(x²): 3 = e-d

(x¹): 0 = f-e

(x⁰): -3 = -f

Das kann man jetzt z.B. von unten aufribbeln:

f = 3

e = f = 3

d = e-3 = 0

c = d = 0

b = c+1 = 1

a = b = 1

Und die erste Gleichung zeigt, dass das richtig ist, denn a=1.

Die erste Faktorisierung lautet also:

(s⁶ -  s⁴ - 3s² - 3) = (s-1) *(s⁵+s⁴+3s+3)

Da im neuen Polynom nur + Zeichen vorkommen, ist es jetzt sinnvoll, eine negative Zahl als nächste Nullstelle auszuprobieren.

Die -1 führt zum Ziel, denn:

(-1)⁵ + (-1)⁴ + 3*(-1) +3 = -1 + 1- 3+3 = 0

Also gilt:

(s⁵+s⁴+3s+3) = (s+1) * r(s)
wobei r(x) jetzt ein Polynom vierten Grades der Form

r(s) = as⁴ + bs³ + cs² + ds + e

ist. Ausmultipliziert folgt:

(s+1)*(as⁴ + bs³ + cs² + ds + e) = as⁵ + bs⁴ + cs³ + ds² + es + as⁴ + bs³ + cs² + ds + e

= as⁵ + (a+b)s⁴ + (b+c)s³ + (c+d)s² + (d+e)s + e

Der Koeffizientenvergleich ergibt dieses Mal:

(x⁵): 1 = a

(x⁴): 1 = a+b

(x³): 0 = b+c

(x²): 0 = c+d

(x¹): 1 = d+e

(x⁰): 1 = e

Mit der Lösung:

a = 1, b = 0, c = 0, d = 0, e = 1

Also lautet das Ursprungspolynom insgesamt:

(s⁶ -  s⁴ - 3s² - 3) = (s-1)*(s+1)*(s⁴+1) = (s²-1)*(s⁴+1)

wenn man noch die 3. Binomische Formel ausnutzt.

Mehr Nullstellen gibt es nicht, denn eine gerade Potenz ist immer größer als 0!

s⁴ + 1 = 0

hat also keine Lösungen.

 

Etwas einfacher ist das mit einer Polynomdivision, allerdings weiß ich nicht, ob du die kannst - und sie ist online relativ schwer zu erklären.

Answer 4

Den  angegebenen Term kan man umformen in :

(s⁶-s⁴-3s²-3) = s²(s²(s²-1)-3)-3)

nun nimmt man  den Faktor in der Mitte (s²-1) als Teiler des Terms und führt eine Polynomdivision durch.

(s⁶-s⁴-3s²-3) / (s²-1) = s⁴+3

Somit erhält man den faktorisierten Term :

(s²-1)*(s⁴+3)

      

 

 

Comments

Haut leider doch nicht so hin , kommt bei der Probe auch die vermuteung von Mathecoach und Julian Mi raus.